963 = (92×96×100)+(42 ×96)

Произведение 92 × 96 = 8832 можно посчитать разными способами. Чтобы отпраздновать окончание данной главы, применим некоторые из уже изученных нами методов. Я нач- ну с самого, на мой взгляд, сложного, а закончу самым про- стым. По методу сложения (90 + 2) × 96 = 8640 + 192 = 8832; по методу вычитания 92 × (100 – 4) = 9200 – 368 = 8832; по ме- тоду разложения 92 × 6 × 4 × 4 = 552 × 4 × 4 = 2208 × 4 = 8832; по результатам возведения в квадрат 942 – 22 = 8836 – 4 = 8832; по методу совместной близости с основанием 90: (90 × 98) + + (2 × 6) = 8820 + 12 = 8832; и по методу совместной близости с основанием 100: (100 × 88) + (–8 × –4) = 8800 + 32 = 8832.
Произведение 42 × 96 = 1536 тоже можно вычислить не- сколькими способами, такими как 96 × 4 × 4 = 384 × 4 = 1536 или 16 × (100 – 4) = 1600 – 64 = 1536. И наконец, поскольку 8832 × × 100 = 883 200, получаем окончательный ответ:

963 =883200+1536=884736

УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ НА ОДНУ ЦИФРУ

318÷9          726÷5             428÷7            289÷8         1328÷3               2782÷4

ПРАВИЛО БОЛЬШОГО ПАЛЬЦА

При делении в уме запоминание частей ответа может вызвать сложности в процессе вычислений. Одним из вариантов вы- хода из ситуации является, как мы практиковали ранее, про- говаривание ответа вслух по ходу решения. Но для создания большего эффекта вы можете предпочесть (как и я) держать ответ в памяти с помощью пальцев и произносить его цели- ком в самом конце. Однако при этом вы рискуете столкнуться с проблемой при запоминании чисел, которые больше пяти, ведь у нас лишь пять пальцев на каждой руке. В этом вам по- может специальная техника, в основе которой лежит язык же- стов. Я называю ее «Правило большого пальца». Она особенно эффективна для запоминания чисел, состоящих из трех и бо- лее цифр, и полезна не только в данной главе, но пригодится и в последующих, где придется иметь дело с задачами послож- нее и числами подлиннее.
Вы уже догадались, что для запоминания чисел от 0 до 5 вам достаточно согнуть нужное количество пальцев на руке. Когда

в процесс вовлечен большой палец, будет легко запомнить числа от 6 до 9. Вот список правил большого пальца.

• Чтобы задать 6, поместите большой палец на верхней части мизинца.

• Чтобы задать 7, поместите большой палец на верхней части безымянного пальца.

• Чтобы задать 8, поместите большой палец на верхней части среднего пальца.

• Чтобы задать 9, поместите большой палец на верхней части указательного пальца.

При работе с трехзначным числом задайте цифры для со- тен на левой руке и для десятков на правой. Когда дело дой- дет до одной цифры, вы достигнете конечной точки решения (за исключением возможного остатка). Теперь произнесите число на левой руке, число на правой руке, последнюю цифру, которую только что посчитали, и остаток (что у вас в голове). И вот! Вы произнесли ответ!
Чтобы попрактиковаться, попробуйте решить следующую задачу на деление четырехзначного числа.

4579 ÷ 6
763
6)4579
– 4200
379
– 360
19
– 18
1 ← остаток
Ответ: 763 (остаток 1), или 763 (и 1/6).

Пользуясь приемом большого пальца для запоминания ответа, вы зададите 7 на левой руке, соединив большой палец с безымянным, и 6 на правой, соединив большой палец с ми- зинцем. Как только вычислите последнюю цифру (она равна 3) и остаток (равный 1), можете «зачитать» итоговый ответ с ва- ших рук слева направо: «семь...шесть...три с остатком один».
Некоторые задачи на деление четырехзначных чисел дают четырехзначный ответ. В таком случае, поскольку у вас только две руки, вам придется вслух произнести цифру для тысячи и использовать правило большого пальца для запоминания остального ответа. Например:

8352 ÷ 3
2784
3)8352
– 6000
2352
– 2100
252
– 240
12
– 12
0
Ответ: 2784.

Для решения этой задачи вы делите 8 на 3, чтобы получить цифру 2 для тысяч; произносите «две тысячи» вслух, затем де- лите 2352 на 3 привычным способом.

ДЕЛЕНИЕ НА ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА

В этом разделе мы исходим из предположения, что вы уже ос- воили искусство деления на однозначные числа. Естественно, задачи на деление с увеличением делителя более сложные. К счастью, в моем рукаве есть немного магии, чтобы облег- чить вам жизнь.
Начнем с относительно простой задачи.

597 ÷ 14

Так как 597 находится между 14 × 10 и 14 × 100, ответ (так называемое частное) лежит между 10 и 100. Чтобы его найти, нужно в первую очередь задать вопрос: «Сколько раз по 14 даст в сумме 590?» Умножив 14 × 40 = 560, вы узнаете, что ответ бу- дет в диапазоне «40 плюс»; так что можно смело произнести вслух «сорок».
Далее вычитаем 560 из 597 и получаем 37, что сводит задачу к делению 37 на 14. Так как 14 × 2 = 28, здесь ответ — 42. Вычи- тая 28 из 37, мы получаем остаток 9. Процесс решения задачи показан следующим образом.

42
14)597
– 560
37
– 28
9 ← остаток
Ответ: 42 (остаток 9), или 42 (и 9/14).

Следующая задачка немного сложнее, потому что делитель в ней больше.
В данном примере ответ будет двузначным числом, так как 682 находится между 23 × 10 = 230 и 23 × 100 = 2300. Чтобы найти цифру для десятка двузначного числа, нужно подумать: «Сколько раз по 23 даст в сумме 680?» Если вы попробуете 30, то увидите, что здесь незначительный перебор, так как 23 × × 30 = 690. Но теперь вы знаете, что ответ лежит в диапазоне «20 плюс» и можете произнести это вслух. Затем вычтите 23 × × 20 = 460 из 682, чтобы получить 222. Так как 23 × 9 = 207, ответ — 29 и остаток 222 – 207 = 15.

29
23)682
– 460
222
– 207
15 ← остаток
Ответ: 29 (остаток) 9, или 29 (и 15/23).

Теперь вычислим:

491 ÷ 62

Так как 491 меньше, чем 62 × 10 = 620, ответ будет пред- ставлен одной цифрой с остатком. Можно попробовать 8, но 62 × 8 = 496, а это несколько больше делимого. Поскольку 62×7=434,ответ —7иостаток491–434=57,или7и57/62.

7
62)491
– 434
57 ← остаток
Ответ: 7 (остаток 57), или 7 (и 57/62).

Один отличный трюк может облегчить решение таких за- дач. Помните, как сначала мы пытались перемножить 62 × 8 = = 496, но обнаружили, что это число больше, чем нужно? Но это действие оказалось не напрасным. Помимо информации о том, что ответ — 7, оно также позволяет сразу определить остаток. Поскольку 496 на 5 единиц больше 491, остаток будет на 5 еди- ниц меньше делителя 62. Поскольку 62 – 5 = 57, то ответ — 7 и 57/62. Этот прием работает потому, что 491 = (62 × 8) – 5 = =62×(7+1)–5=(62×7+62)–5=(62×7)+(62–5)= 62×7+57.
Теперь попробуйте решить пример 380 ÷ 39, используя вышеописанную уловку. Итак, 39 × 10 = 390, что больше де- лимого на 10. Стало быть, ответ будет 9 с остатком 39 – 10 = 29.
Следующий вызов для вас — деление четырехзначного числа на двузначное.

3657 ÷ 54

Так как 54 × 100 = 5400, то ответ будет двузначным числом. Для получения первой цифры ответа необходимо выяснить, сколько раз по 54 даст в сумме 3657. Исходя из того что 54 × × 70 = 3789 (что немного больше делимого), ответ будет где-то в диапазоне «60 плюс».
Далее умножаем 54 × 60 = 3240 и вычитаем 3657 – 3240 = = 417. Как только вы произнесете «60», ваша задача упростится до 417 ÷ 54. Поскольку 54 × 8 = 432 (что тоже немного больше 417), последняя цифра будет 7 с остатком 54 – 15 = 39.

67
54)3657
– 3240
417
– 379
39 ←остаток
Ответ: 67 (остаток 39), или 67 (и 39/54).

Теперь попробуйте свои силы в решении задачи с трех- значным частным:

9467 ÷ 13
728
13)9467
– 9100
367
– 260
107
– 104
3 ← остаток
Ответ: 728 (остаток 3), или 728 (и 3/13).

Упрощение задач на деление

Если к этому моменту ваш мозг уже устал от перенапряжения, расслабьтесь. Как и было обещано, я поделюсь с вами несколь- кими приемами упрощения задач на деление в уме. Они осно- ваны на принципе деления обеих частей задачи на общий мно- житель. Если оба числа в примере четные, вы можете вдвойне упростить проблему путем деления каждого числа на 2 перед началом вычислений. Например, задача 858 ÷ 16 содержит два четных числа, и их деление на 2 ведет к значительно более про- стому действию 429 ÷ 8.

53                  делим на 2
16)858
– 800
58
– 48
  10
Ответ: 53 (и 10/16).

53             делим на 2
8)429
– 400
29
– 24
     5
Ответ: 53 (и 5/8).[/b]

Как видите, остатки 10 и 5 различны; но если записать их в виде дроби, получится 10/16, что равно 5/8. Поэтому в данном методе ответ всегда должен быть представлен в виде дроби.
Мы проделали оба типа вычислений для того, чтобы вы убедились, насколько второй способ легче. Теперь ваша оче- редь практиковаться:

где черта над цифрой обозначает бесконечное повторение этой цифры (говорят, что это дробь в периоде). Например, 4/9 = 0,444... .
Дроби с десятками в знаменателе нам уже известны.

Дроби со знаменателем 11 легко вычисляются, если вы за- помните, что 1/11 = 0,0909.

Обратите внимание, что последовательность цифр в пери- оде циклически повторяется в каждой дроби, при этом изме- няется лишь начальная цифра последовательности. Ее мож- но определить путем умножения 0,14 на числитель дроби. Например, для дроби 2/7 имеем 2 × 0,14 = 0,28. Поэтому по- следовательность должна начинаться с 2. Для дроби 3/7 это 3 × 0,14 = 0,42, значит, последовательность начинается с 4. Другие дроби подчиняются тому же правилу.
Конечно, в процессе решения разнообразных задач вы обязательно столкнетесь с дробями, превышающими 10/11. Поэтому постоянно обдумывайте способы упрощения таких задач. Например, можно упростить дробь 18/34 путем деле- ния числителя и знаменателя на 2, чтобы сократить задачу до 9/17 (ее будет легче решить).
Если знаменатель дроби — четное число, можно упростить дробь, уменьшив ее вдвое, даже если числитель нечетный. Например,

9   =  4,5
14     7

Деление числителя и знаменателя на 2 сведет проблему к дроби с семеркой в знаменателе. Хотя ранее показанная по- следовательность дробей не предоставляет десятичного вари- анта для дроби 4,5/7, как только вы начнете считать, заученное число неожиданно всплывет в памяти.

Как видите, вам не пришлось решать задачу целиком. Стоит вам разделить 3 на 7, и вы точно произведете огромное
впечатление на публику, отбарабанив этот длинный набор цифр почти мгновенно!*
Когда делитель заканчивается на 5, то почти всегда умно- жение на 2, а потом деление на 10 оправдывает себя. Например:

Как только задача сведется к вычислению 14/16, можно привести ее к виду 7/8, что, как известно, равняется 0,875. Отсюда 3/16 = 0,1875**.

-------------------
* Вычисления происходят следующим образом: 4,5/7 = 4,2/7 + 0,3/7 = = 0,6 + 0,1 х 3/7 = 0,6 + 0,1 х 0,428571 = 0,6 + 0,0428571 = 0,6428571. Прим. ред.
** Здесь вычисления вновь требуют пояснений: 3/16 = 0,1 х 30/16 = = 0,1 х 15/8 = 0,1 х (1 + 7/8) = 0,1 + 0,1 х 7/8 = 0,1 + 0,1 х 0,875 = 0,1 + + 0,0875 = 0,1875. Прим. ред.

Чтобы решить следующие задачи, не забудьте использовать полученные знания о десятичном виде различных «одноциф- ровых» дробей. Везде, где это целесообразно, упрощайте дро- би, прежде чем преобразовать их в десятичные.

1.    2/5     2.      4/7          3.     3/8      4.      9/12      5.    5/12     6.    6/11

7.   14/24     8.   13/27      9.  18/48    10.   10/14        11.   6/32      12.    19/45

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

В последнем разделе мы узнали, как упростить задачи на де- ление, если числитель и знаменатель поделить на общий множитель. В завершение этой главы обсудим, как опреде- лить, является ли одно число делителем другого. Это помо- жет упростить задачу на деление и ускорить процесс реше- ния многих задач на умножение, а также пригодится, когда мы доберемся до продвинутого умножения, где часто придет- ся искать способы разложить на множители двух-, трех- или даже пятизначные числа. Умение делать это окажется весьма полезным.
Проверить, делится ли число на 2, довольно просто. Вам нужно только определить, является ли последняя цифра чет- ной. Если это 2, 4, 6, 8 или 0, то число целиком делится на 2.
Чтобы протестировать число на делимость на 4, проверьте, делятся ли на 4 две его последние цифры. Число 57 852 кратно 4, потому что 52 = 13 × 4. Число 69 346 не кратно 4, поскольку 46 не делится на 4 без остатка. Это правило работает потому, что 4 делит 100 и, следовательно, любое число, кратное 100.

Таким образом, поскольку 57 800 и 52 делятся на 4, то 4 поде- лит и их сумму, то есть 57 852.
Аналогично, так как 1000 делится на 8, для проверки крат- ности 8 достаточно выяснить, делятся ли на 8 последние три цифры числа. Например, для 14 918 надо проверить число 918 на делимость на 8. Однако при делении 918 на 8 имеем остаток (918 ÷ 8 = 114 6/8), из чего делаем вывод, что число 14 918 на 8 не делится. Можно также заметить, что 18 (две последние циф- ры числа 14 918) не делится на 4, а так как 14 918 не делится на 4, оно не может делиться и на 8.
Когда дело доходит до делимости на 3, предлагаю запом- нить одно простое правило: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр делится на 3 (не- зависимо от того, сколько цифр в числе). Чтобы выяснить, де- лится ли 57 852 на 3, просто сложите 5 + 7 + 8 + 5 + 2 = 27. Так как 27 кратно 3, то и 57 852 будет кратно 3. Столь же удивитель- ное правило справедливо и для делимости на 9. Число делит- ся на 9 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр кратна 9. Поэтому 57 852 кратно 9, тогда как число 31 416, сумма цифр которого равна 15, на 9 не делится. Объясняется это правило тем, что числа 1, 10, 100, 1000, 10000 и т. д. всегда на единицу больше кратного 9.
Число делится на 6 только в том случае, если оно четное и делится на 3. Так что кратность 6 легко проверить.
Установить, делится ли число на 5, еще проще. Любое чис- ло, независимо от величины, кратно 5 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 или 0.
Выяснить делимость на 11 почти так же просто, как на 3 или на 9. Число делится на 11 тогда и только тогда, ког- да в результате попеременного вычитания и сложения со- ставляющих его цифр вы получите либо 0, либо кратное 11.

Например, 73 958 не делится на 11, потому что 7 – 3 + 9 – 5 + + 8 = 16. Однако числа 8 492 и 73 194 кратны 11, так как 8 – 4 + + 9 – 2 = 11 и 7 – 3 + 1 – 9 + 4 = 0. Это правило работает потому, что числа 1, 100, 10 000, 1 000 000 на единицу больше кратно- го 11, в то время как числа 10, 1000, 100 000 и т. д. на единицу меньше величины, кратной 11.
Проверка делимости на 7 несколько сложнее. Если вы прибавите (или вычтите) число, кратное 7, к проверяемому (или из проверяемого) и полученный результат будет делить- ся на 7, ответ положительный. Я всегда выбираю такое при- бавляемое или вычитаемое кратное 7, чтобы в итоге сумма или разность заканчивалась на 0. Например, для проверки числа 5292 я вычитаю 42 (кратное 7), чтобы получить 5250. Далее избавляюсь от 0 на конце (так как деление на десять не влияет на проверку делимости на семь), получая в итоге 525. Затем повторяю процесс, прибавляя 35 (кратное 7), что дает мне 560. Когда я удалю 0, то останусь с числом 56, ко- торое, как мне известно, кратно 7. Таким образом, исходное число 5292 делится на 7.
Этот метод работает не только для 7, но и для любого не- четного числа, кроме оканчивающегося на 5. Например, чтобы проверить, делится ли 8792 на 13, вычитаем 4 × 13 = = 52 из 8792 и получаем 8740. Опуская 0, имеем 874. Затем при- бавляем 2 × 13 = 26, выходит 900. Удаление двух нулей оставляет нас с числом 9, которое, очевидно, не кратно 13. Таким образом, 8792 не делится на 13.