Всё обо Всём.

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.


Вы здесь » Всё обо Всём. » библиотека » МАГИЯ ЧИСЕЛ


МАГИЯ ЧИСЕЛ

Сообщений 41 страница 50 из 54

41

УПРАЖНЕНИЕ:
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

http://se.uploads.ru/t/RCjkw.png

Что за дверью номер 1?

Математической банальностью 1991 года, которая постави- ла всех в тупик, оказалась статья Мэрилин Савант — жен- щины с самым высоким в мире IQ (что зарегистрировано в Кни- ге рекордов Гиннесса ) — в журнале Parade. Этот парадокс стал известен как «проблема Монти Холла», и заключается он в следующем.
Вы участник шоу Монти Холла «Давайте совершать сдел- ки» (Let’s Make a Deal). Ведущий дает вам возможность выбрать одну из трех дверей, за одной из которых находится большой приз, за двумя другими — козы. Допустим, вы выбираете дверь No 2. Но прежде чем показать, что скрывается за этой две- рью, Монти открывает дверь No 3. Там коза. Теперь в своей дразнящей манере Монти спрашивает вас: вы хотите открыть дверь No 2 или рискнете посмотреть, что находится за дверью No 1? Что вам следует сделать? Если предположить, что Мон- ти собирается подсказать вам, где нет главного приза, то он всегда будет открывать одну из «утешительных» дверей. Это оставляет вас перед выбором: одна дверь с большим призом, а вторая — с утешительным. Сейчас ваши шансы составляют 50 на 50, не так ли?
А вот и нет! Шанс, что вы правильно выбрали в первый раз, по-прежнему 1 к 3. Вероятность того, что большой приз ока- жется за другой дверью, увеличивается до 2/3, потому что ве- роятности в сумме должны давать 1.
Таким образом, изменив свой выбор, вы удвоите шансы на выигрыш! (В задаче предполагается, что Монти всегда будет давать игроку возможность сделать новый выбор, показывая «невыигрышную» дверь, и, когда ваш первый выбор окажется правильным, откроет «невыигрышную» дверь наугад.) Пораз- мышляйте об игре с десятью дверями. Пусть после вашего пер- вого выбора ведущий откроет восемь «невыигрышных» две- рей. Здесь ваши инстинкты, скорее всего, потребуют поменять дверь. Люди обычно ошибаются, думая, что если Монти Холл не знает, где главный приз, и открывает дверь No 3, за которой оказывается коза (хотя мог бы быть и приз), то дверь No 1 с ве- роятностью в 50 процентов будет нужной. Такое рассуждение противоречит здравому смыслу, тем не менее Мэрилин Савант получила груды писем (многие от ученых, и даже математиков), в которых говорилось, что ей не следовало писать о математи- ке. Конечно, все эти люди были неправы.

ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ

Мы закончим эту главу новым методом возведения в куб двузначных чисел. (Воскресите в памяти тот факт, что куб числа — это число, умноженное на себя дважды. Например, 5 в кубе (обозначается 53) будет равно 5 × 5 × 5 = 125.) Как вы убедитесь, это не намного сложнее, чем умножение двузнач- ных чисел. Метод основан на алгебраическом соотношении

A3 =(A–d)A(A+d)+d2A,

где d — любое число. Как и при возведении в квадрат двузнач- ных чисел, я стараюсь выбрать такое d, чтобы при его сложе- нии (или вычитании) получить число, как можно более близ- кое к кратному десяти. Например, при возведении в куб числа 13, d = 3, в результате получается:

133 =((13–3)×13×(13+3))+(32 ×13).

Поскольку 13 × 16 = 13 × 4 × 4 = 52 × 4 = 208 и 9 × 13 = 117, то
мы имеем:

133 = 2080 + 117 = 2197.

Как насчет куба 35? Принимая d = 5, получим:

353 =(30×35×40)+(52 ×35).

Так как 30 × 35 × 40 = 30 × 1400 = 42 000 и 35 × 5 × 5 = 175 × × 5 = 875, имеем

353 =42000+875=42875.

При возведении 49 в куб задаем d = 1 с целью округления этого числа до 50. Тогда

493 =(48×49×50)+(12×49).

Можно умножить 48 × 49 с помощью метода разложения, но для задач такого типа я предпочитаю метод совместной близости, который будет описан в главе 8. (Можете забежать вперед и взглянуть на него уже сейчас, если хотите!) Исполь- зуя этот метод, получим 48 × 49 = (50 × 47) + (1 × 2) = 2352. Умножив это число на 50, получим 117 600 и тогда:

493 = 117 600 + 49 = 117 649.

Вот задача посложнее. Попробуйте возвести в куб число 92.

923 =(90×92×94)+(22 ×92)

Если вы умеете быстро возводить в квадрат двузначные числа, значит, можете вычислить 92 × 94 = 932 – 1 = 8648, либо применить метод совместной близости, следствие которого 92 × 94 = (90 × 96) + (2 × 4) = 8648. Итак, умножим это число на 9 (как описано в начале главы 8) — 9 × (8600 + 48) = 77 400 + + 432 = 77 832. Следовательно, 90 × 92 × 94 = 778 320. Далее, по- скольку 4 × 92 = 368, прибавим его и получим окончательный ответ:

923 =778320+368=778688.

Отметим, что при использовании метода совместной бли- зости для задач на умножение, возникающих при возведе- нии в куб трехзначного числа, малое произведение, которое

нужно прибавить (в зависимости от значения d = 1, 2, 3, 4 или 5),будетравно1×2=2;2×4=8;3×6=18;4×8=32;5×10=50.
Возведем в куб число 96.

0

42

963 = (92×96×100)+(42 ×96)

Произведение 92 × 96 = 8832 можно посчитать разными способами. Чтобы отпраздновать окончание данной главы, применим некоторые из уже изученных нами методов. Я нач- ну с самого, на мой взгляд, сложного, а закончу самым про- стым. По методу сложения (90 + 2) × 96 = 8640 + 192 = 8832; по методу вычитания 92 × (100 – 4) = 9200 – 368 = 8832; по ме- тоду разложения 92 × 6 × 4 × 4 = 552 × 4 × 4 = 2208 × 4 = 8832; по результатам возведения в квадрат 942 – 22 = 8836 – 4 = 8832; по методу совместной близости с основанием 90: (90 × 98) + + (2 × 6) = 8820 + 12 = 8832; и по методу совместной близости с основанием 100: (100 × 88) + (–8 × –4) = 8800 + 32 = 8832.
Произведение 42 × 96 = 1536 тоже можно вычислить не- сколькими способами, такими как 96 × 4 × 4 = 384 × 4 = 1536 или 16 × (100 – 4) = 1600 – 64 = 1536. И наконец, поскольку 8832 × × 100 = 883 200, получаем окончательный ответ:

963 =883200+1536=884736

УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

http://se.uploads.ru/t/tBLqV.png

0

43

Глава 4
Разделяй и властвуй: деление в уме

Деление в уме — чрезвычайно полезный навык как для биз- неса, так и для повседневной жизни. Сколько раз в неделю вы сталкиваетесь с ситуациями, которые требуют от вас что-то равномерно распределить, например счет в ресторане? Точно такой же навык оказывается кстати, когда вы хотите выяснить стоимость одной упаковки корма для собак, или поделить вы- игрыш во время игры в покер, или узнать, сколько литров бен- зина можно купить на 20 долларов. Способность делить в уме избавит вас от необходимости постоянно обращаться к каль- кулятору, когда вам нужно что-либо посчитать.
При выполнении устного деления метод вычисления слева направо вступает в свои права. Именно ему нас учили в шко- ле, так что вы будете заниматься естественным для себя де- лом. Помню, что, будучи ребенком, думал, будто метод деле- ния слева направо олицетворяет то, какой арифметика долж- на быть в принципе. Я часто размышлял о том, что если бы в школе нашли способ преподавать и деление справа налево, они, вероятно, так бы и сделали!

ДЕЛЕНИЕ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО

Первый шаг при делении в уме — предположить, из сколь- ких цифр будет состоять итоговый ответ. Чтобы понять, что я имею в виду, попробуйте решить вот такую задачу:

179 ÷ 7

Чтобы разделить 179 на 7, нужно найти такое число Q, ко- торое 7 раз по Q составит 179. Очевидно, что поскольку 179 на- ходится между 7 × 10 = 70 и 7 × 100 = 700, Q должно размещать- ся между 10 и 100. Стало быть, ответ является двузначным числом. Зная это, сначала определяем наибольшее кратное 10, которое может быть умножено на 7 и в итоге оказаться меньше 179. Нам известно, что 7 × 20 = 140 и 7 × 30 = 210, значит, от- вет будет в диапазоне «20 плюс». Отталкиваясь от этого, мы уже можем реально проговорить число «20», так как это будет часть ответа, и она точно не изменится. Далее вычитаем 179 – – 140 = 39. Теперь наша задача сведена к делению 39 ÷ 7. Так как 7 × 5 = 35, что на 4 меньше 39, у нас появилась вторая часть ответа «5» с остатком 4, или, если вы предпочитаете говорить так: 25 и 4/7. Вот как выглядит данный процесс деления*.

25
7)179
– 140
    39
– 35
4 ← остаток
Ответ: 25 (остаток 4), или 25 (и 4/7).

Попробуем решить похожую задачу, используя аналогич- ные расчеты.

675 ÷ 8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Автор использует американскую нотацию для деления в столбик. В этой нотации сначала записывается делитель (число 7 в примере ниже), рядом делимое (число 179). Цифры ответа поочередно за- писываются над делимым. Число под делимым — это произведе- ние делителя и первой цифры ответа (с соответствующим количе- ством нулей). Затем из разности делимого и этого числа вычитается произведение делителя и следующей цифры ответа, и так далее.

Как и раньше, если 675 находится между 8 × 10 = 80 и 8 × 100 = 800, то ответ должен быть меньше 100 и выражать- ся двузначным числом. Чтобы произвести деление, учтем, что 8 × 80 = 640 и 8 × 90 = 720. То есть ответ должен быть в диа- пазоне 80 «с хвостиком». Но с каким хвостиком? Чтобы это узнать, вычтите 640 из 675 для получения остатка 35. После произнесения вами «80» наша задача сведется к 35 ÷ 8. Так как 8 × 4 = 32, итоговый ответ будет 84 с остатком 3, или 84 и 3/8. Схематически данный пример представим так:

84
8)675
– 640
35
– 32
3 ← остаток
Ответ: 84 (остаток 3), или 84 (и 3/8).[/b]

Как и большинство устных вычислений, процесс деления можно рассматривать как процесс упрощения. Чем больше числа в первом действии, тем проще становится задача. То, что начиналось как 675 ÷ 8, было сведено к меньшей задаче 35 ÷ 8.
Теперь рассмотрим пример, при решении которого полу- чается трехзначное число.

[b]947 ÷ 4

-----------------------------------

На этот раз ответ будет содержать три цифры, потому что 947 находится между 4 × 100 = 400 и 4 × 1000 = 4000. Нам следу- ет отыскать наибольшее кратное 100, наиболее близкое к 947. Поскольку 4 × 200 = 800, то есть «200 плюс», так что вперед, произнесите это! Вычитание 800 из 947 преподносит новую задачу на деление 147 ÷ 4. Так как 4 × 30 = 120, теперь мы уже

можем сказать: «30». После вычитания 120 из 147 вычисляем 27 ÷ 4 для получения остальной части ответа: 6 с остатком 3. В совокупности имеем 236 с остатком 3, или 236 и 3/4.

236
4)947
– 800
147
– 120
27
– 24
3 ← остаток
Ответ: 236 (остаток 3), или 236 (и 3/8).

Процесс деления четырехзначного числа на одну цифру столь же прост, как и следующий пример.
2196 ÷ 5

Здесь ответ будет исчисляться сотнями, потому что 2196 находится между 5 × 100 = 500 и 5 × 1000 = 5000. После вычитания 5 × 400 = 2000 из 2196 мы можем произнести «400», и наша задача сведется к деления 196 на 5, что вычисляется так же, как и в предыдущих примерах.

439
5)2196
– 2000
196
– 150
46
– 45
1 ←остаток
Ответ: 439 (остаток 1), или 439 (и 1/5).

На самом деле существует более простой способ решения последней задачи. Ее можно упростить путем удвоения обоих чисел. Так как 2196 × 2 = 4392, то имеем 2196 ÷ 5 = 4392 ÷ 10 = = 439,2, или 439 и 2/10. Мы рассмотрим другие способы упро- щения при делении в следующем разделе.

0

44

УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ НА ОДНУ ЦИФРУ

318÷9          726÷5             428÷7            289÷8         1328÷3               2782÷4


ПРАВИЛО БОЛЬШОГО ПАЛЬЦА

При делении в уме запоминание частей ответа может вызвать сложности в процессе вычислений. Одним из вариантов вы- хода из ситуации является, как мы практиковали ранее, про- говаривание ответа вслух по ходу решения. Но для создания большего эффекта вы можете предпочесть (как и я) держать ответ в памяти с помощью пальцев и произносить его цели- ком в самом конце. Однако при этом вы рискуете столкнуться с проблемой при запоминании чисел, которые больше пяти, ведь у нас лишь пять пальцев на каждой руке. В этом вам по- может специальная техника, в основе которой лежит язык же- стов. Я называю ее «Правило большого пальца». Она особенно эффективна для запоминания чисел, состоящих из трех и бо- лее цифр, и полезна не только в данной главе, но пригодится и в последующих, где придется иметь дело с задачами послож- нее и числами подлиннее.
Вы уже догадались, что для запоминания чисел от 0 до 5 вам достаточно согнуть нужное количество пальцев на руке. Когда

в процесс вовлечен большой палец, будет легко запомнить числа от 6 до 9. Вот список правил большого пальца.

• Чтобы задать 6, поместите большой палец на верхней части мизинца.

• Чтобы задать 7, поместите большой палец на верхней части безымянного пальца.

• Чтобы задать 8, поместите большой палец на верхней части среднего пальца.

• Чтобы задать 9, поместите большой палец на верхней части указательного пальца.

При работе с трехзначным числом задайте цифры для со- тен на левой руке и для десятков на правой. Когда дело дой- дет до одной цифры, вы достигнете конечной точки решения (за исключением возможного остатка). Теперь произнесите число на левой руке, число на правой руке, последнюю цифру, которую только что посчитали, и остаток (что у вас в голове). И вот! Вы произнесли ответ!
Чтобы попрактиковаться, попробуйте решить следующую задачу на деление четырехзначного числа.

4579 ÷ 6
763
6)4579
– 4200
379
– 360
19
– 18
1 ← остаток
Ответ: 763 (остаток 1), или 763 (и 1/6)
.

Пользуясь приемом большого пальца для запоминания ответа, вы зададите 7 на левой руке, соединив большой палец с безымянным, и 6 на правой, соединив большой палец с ми- зинцем. Как только вычислите последнюю цифру (она равна 3) и остаток (равный 1), можете «зачитать» итоговый ответ с ва- ших рук слева направо: «семь...шесть...три с остатком один».
Некоторые задачи на деление четырехзначных чисел дают четырехзначный ответ. В таком случае, поскольку у вас только две руки, вам придется вслух произнести цифру для тысячи и использовать правило большого пальца для запоминания остального ответа. Например:

8352 ÷ 3
2784
3)8352
– 6000
2352
– 2100
252
– 240
12
– 12
0
Ответ: 2784.

Для решения этой задачи вы делите 8 на 3, чтобы получить цифру 2 для тысяч; произносите «две тысячи» вслух, затем де- лите 2352 на 3 привычным способом.

ДЕЛЕНИЕ НА ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА

В этом разделе мы исходим из предположения, что вы уже ос- воили искусство деления на однозначные числа. Естественно, задачи на деление с увеличением делителя более сложные. К счастью, в моем рукаве есть немного магии, чтобы облег- чить вам жизнь.
Начнем с относительно простой задачи.

597 ÷ 14

Так как 597 находится между 14 × 10 и 14 × 100, ответ (так называемое частное) лежит между 10 и 100. Чтобы его найти, нужно в первую очередь задать вопрос: «Сколько раз по 14 даст в сумме 590?» Умножив 14 × 40 = 560, вы узнаете, что ответ бу- дет в диапазоне «40 плюс»; так что можно смело произнести вслух «сорок».
Далее вычитаем 560 из 597 и получаем 37, что сводит задачу к делению 37 на 14. Так как 14 × 2 = 28, здесь ответ — 42. Вычи- тая 28 из 37, мы получаем остаток 9. Процесс решения задачи показан следующим образом.

42
14)597
– 560
37
– 28
9 ← остаток
Ответ: 42 (остаток 9), или 42 (и 9/14).

Следующая задачка немного сложнее, потому что делитель в ней больше.
В данном примере ответ будет двузначным числом, так как 682 находится между 23 × 10 = 230 и 23 × 100 = 2300. Чтобы найти цифру для десятка двузначного числа, нужно подумать: «Сколько раз по 23 даст в сумме 680?» Если вы попробуете 30, то увидите, что здесь незначительный перебор, так как 23 × × 30 = 690. Но теперь вы знаете, что ответ лежит в диапазоне «20 плюс» и можете произнести это вслух. Затем вычтите 23 × × 20 = 460 из 682, чтобы получить 222. Так как 23 × 9 = 207, ответ — 29 и остаток 222 – 207 = 15.

29
23)682
– 460
222
– 207
15 ← остаток
Ответ: 29 (остаток) 9, или 29 (и 15/23).

Теперь вычислим:

491 ÷ 62

Так как 491 меньше, чем 62 × 10 = 620, ответ будет пред- ставлен одной цифрой с остатком. Можно попробовать 8, но 62 × 8 = 496, а это несколько больше делимого. Поскольку 62×7=434,ответ —7иостаток491–434=57,или7и57/62.

7
62)491
– 434
57 ← остаток
Ответ: 7 (остаток 57), или 7 (и 57/62).

Один отличный трюк может облегчить решение таких за- дач. Помните, как сначала мы пытались перемножить 62 × 8 = = 496, но обнаружили, что это число больше, чем нужно? Но это действие оказалось не напрасным. Помимо информации о том, что ответ — 7, оно также позволяет сразу определить остаток. Поскольку 496 на 5 единиц больше 491, остаток будет на 5 еди- ниц меньше делителя 62. Поскольку 62 – 5 = 57, то ответ — 7 и 57/62. Этот прием работает потому, что 491 = (62 × 8) – 5 = =62×(7+1)–5=(62×7+62)–5=(62×7)+(62–5)= 62×7+57.
Теперь попробуйте решить пример 380 ÷ 39, используя вышеописанную уловку. Итак, 39 × 10 = 390, что больше де- лимого на 10. Стало быть, ответ будет 9 с остатком 39 – 10 = 29.
Следующий вызов для вас — деление четырехзначного числа на двузначное.

3657 ÷ 54

Так как 54 × 100 = 5400, то ответ будет двузначным числом. Для получения первой цифры ответа необходимо выяснить, сколько раз по 54 даст в сумме 3657. Исходя из того что 54 × × 70 = 3789 (что немного больше делимого), ответ будет где-то в диапазоне «60 плюс».
Далее умножаем 54 × 60 = 3240 и вычитаем 3657 – 3240 = = 417. Как только вы произнесете «60», ваша задача упростится до 417 ÷ 54. Поскольку 54 × 8 = 432 (что тоже немного больше 417), последняя цифра будет 7 с остатком 54 – 15 = 39.

67
54)3657
– 3240
417
– 379
39 ←остаток
Ответ: 67 (остаток 39), или 67 (и 39/54).

Теперь попробуйте свои силы в решении задачи с трех- значным частным:

9467 ÷ 13
728
13)9467
– 9100
367
– 260
107
– 104
3 ← остаток
Ответ: 728 (остаток 3), или 728 (и 3/13).

Упрощение задач на деление

Если к этому моменту ваш мозг уже устал от перенапряжения, расслабьтесь. Как и было обещано, я поделюсь с вами несколь- кими приемами упрощения задач на деление в уме. Они осно- ваны на принципе деления обеих частей задачи на общий мно- житель. Если оба числа в примере четные, вы можете вдвойне упростить проблему путем деления каждого числа на 2 перед началом вычислений. Например, задача 858 ÷ 16 содержит два четных числа, и их деление на 2 ведет к значительно более про- стому действию 429 ÷ 8.

53                  делим на 2
16)858
– 800
58
– 48
  10
Ответ: 53 (и 10/16).

53             делим на 2
8)429
– 400
29
– 24
     5
Ответ: 53 (и 5/8).[/b]

Как видите, остатки 10 и 5 различны; но если записать их в виде дроби, получится 10/16, что равно 5/8. Поэтому в данном методе ответ всегда должен быть представлен в виде дроби.
Мы проделали оба типа вычислений для того, чтобы вы убедились, насколько второй способ легче. Теперь ваша оче- редь практиковаться:

0

45

Как видите, остатки 10 и 5 различны; но если записать их в виде дроби, получится 10/16, что равно 5/8. Поэтому в данном методе ответ всегда должен быть представлен в виде дроби.
Мы проделали оба типа вычислений для того, чтобы вы убедились, насколько второй способ легче. Теперь ваша оче- редь практиковаться:

3618 ÷ 54

67                 делим на 2                  67
54)3618                                                        27)1809
– 3240                                                       – 1620
378                                                               189
– 378                                                         – 189
     0                                                                 0
  Ответ: 67.                                                     Ответ: 67.

Пример справа гораздо легче решить в уме. Если вы все еще в этом не уверены, можете разделить обе части исходной задачи на 18 для получения еще более простой задачи: 201 ÷ ÷ 3 = 67.
Высматривайте задачи, которые можно подвергнуть деле- нию на 2 дважды, такие как 1652 ÷ 36.

                                                                 45 
1652÷36   =   826÷18     =    413÷9     =  9)413
            ÷ 2                   ÷ 2                     – 360
                                                                  53
                                                                –45
                                                                   8 
         
                             Ответ: 45 (и 8/9). 

Мне кажется, что проще дважды разделить числа на 2, чем делить каждое из чисел на 4. Теперь рассмотрим случай, когда оба числа оканчиваются на 0. В этой ситуации можно каждое число разделить на 10.

580÷70   =   58÷7    =        8
                                     7)58
                                    – 56
                                          2
       Ответ: 8 (и 2/7).

Если оба числа заканчиваются на 5, удвойте их, а затем разделите на 10 для упрощения задачи. Например:

475÷35    =  950÷70   =   95÷7   =   13
               × 2          ÷ 10                7)95
                                                     – 70
                                                       25
                                                    – 21
                                                         4

                        Ответ: 13 (и 4/7).

Наконец, если делитель оканчивается на 5, а делимое на 0, умножьте оба на 2, а затем разделите на 10 и далее действуйте так, как мы делали выше.

890÷45    =   1780÷90     =    178÷9   =    19
              ×2                    ÷10                9)178
                                                             – 90
                                                                88
                                                          – 81
                                                              7

                      Ответ: 19 (и 7/9).

УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ НА ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА

Здесь вы найдете разнообразные задачи по делению на двуз- начные числа, которые проверят ваше ментальное мастерство и умение пользоваться простыми техниками упрощения, ко- торые были объяснены в этой главе. Загляните в конец книги для получения объяснений и сверки ответов.

1.     738÷17         2.    591÷24                     3.           321÷79

4.    4268 ÷ 28      5.    7214 ÷ 11                  6.           3074 ÷ 18

РАЗВИВАЕМ СВОИ СПОСОБНОСТИ:
ИЗУЧЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 

Как вы уже, наверное, догадались, мне нравится заниматься магией, превращая обычные дроби в десятичные. В случае с дробями, в знаменателе которых есть только одна цифра, лучший способ превратить их в десятичные — это почерп- нуть их значения из памяти. Это не так сложно, как кажет- ся. Далее вы увидите, что большинство дробей, числители и знаменатели которых представлены однозначными числа- ми (а также 10 или 11), обладают особыми свойствами, по- этому их сложно забыть. Каждый раз, когда вы можете со- кратить дробь до уже известного вам значения, это ускорит процесс вычислений.
Уверен, вы уже знаете десятичные эквиваленты для сле- дующих дробей:

http://se.uploads.ru/t/VABp2.png

http://se.uploads.ru/t/WN3nT.png

http://se.uploads.ru/t/NkrOz.png

http://se.uploads.ru/t/GKo03.png

0

46

где черта над цифрой обозначает бесконечное повторение этой цифры (говорят, что это дробь в периоде). Например, 4/9 = 0,444... .
Дроби с десятками в знаменателе нам уже известны.

http://se.uploads.ru/t/TQjkG.png

Дроби со знаменателем 11 легко вычисляются, если вы за- помните, что 1/11 = 0,0909.

http://se.uploads.ru/t/diGto.png

http://se.uploads.ru/t/KfOBo.png

Обратите внимание, что последовательность цифр в пери- оде циклически повторяется в каждой дроби, при этом изме- няется лишь начальная цифра последовательности. Ее мож- но определить путем умножения 0,14 на числитель дроби. Например, для дроби 2/7 имеем 2 × 0,14 = 0,28. Поэтому по- следовательность должна начинаться с 2. Для дроби 3/7 это 3 × 0,14 = 0,42, значит, последовательность начинается с 4. Другие дроби подчиняются тому же правилу.
Конечно, в процессе решения разнообразных задач вы обязательно столкнетесь с дробями, превышающими 10/11. Поэтому постоянно обдумывайте способы упрощения таких задач. Например, можно упростить дробь 18/34 путем деле- ния числителя и знаменателя на 2, чтобы сократить задачу до 9/17 (ее будет легче решить).
Если знаменатель дроби — четное число, можно упростить дробь, уменьшив ее вдвое, даже если числитель нечетный. Например,

9   =  4,5
14     7

Деление числителя и знаменателя на 2 сведет проблему к дроби с семеркой в знаменателе. Хотя ранее показанная по- следовательность дробей не предоставляет десятичного вари- анта для дроби 4,5/7, как только вы начнете считать, заученное число неожиданно всплывет в памяти.

http://se.uploads.ru/t/3d9N0.png

Как видите, вам не пришлось решать задачу целиком. Стоит вам разделить 3 на 7, и вы точно произведете огромное
впечатление на публику, отбарабанив этот длинный набор цифр почти мгновенно!*
Когда делитель заканчивается на 5, то почти всегда умно- жение на 2, а потом деление на 10 оправдывает себя. Например:

http://se.uploads.ru/t/8Oe4y.png

Как только задача сведется к вычислению 14/16, можно привести ее к виду 7/8, что, как известно, равняется 0,875. Отсюда 3/16 = 0,1875**.

-------------------
* Вычисления происходят следующим образом: 4,5/7 = 4,2/7 + 0,3/7 = = 0,6 + 0,1 х 3/7 = 0,6 + 0,1 х 0,428571 = 0,6 + 0,0428571 = 0,6428571. Прим. ред.
** Здесь вычисления вновь требуют пояснений: 3/16 = 0,1 х 30/16 = = 0,1 х 15/8 = 0,1 х (1 + 7/8) = 0,1 + 0,1 х 7/8 = 0,1 + 0,1 х 0,875 = 0,1 + + 0,0875 = 0,1875. Прим. ред.

0

47

УПРАЖНЕНИЕ:
ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ДЕСЯТИЧНОЙ ФОРМЕ

0

48

Чтобы решить следующие задачи, не забудьте использовать полученные знания о десятичном виде различных «одноциф- ровых» дробей. Везде, где это целесообразно, упрощайте дро- би, прежде чем преобразовать их в десятичные.

1.    2/5     2.      4/7          3.     3/8      4.      9/12      5.    5/12     6.    6/11

7.   14/24     8.   13/27      9.  18/48    10.   10/14        11.   6/32      12.    19/45

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

В последнем разделе мы узнали, как упростить задачи на де- ление, если числитель и знаменатель поделить на общий множитель. В завершение этой главы обсудим, как опреде- лить, является ли одно число делителем другого. Это помо- жет упростить задачу на деление и ускорить процесс реше- ния многих задач на умножение, а также пригодится, когда мы доберемся до продвинутого умножения, где часто придет- ся искать способы разложить на множители двух-, трех- или даже пятизначные числа. Умение делать это окажется весьма полезным.
Проверить, делится ли число на 2, довольно просто. Вам нужно только определить, является ли последняя цифра чет- ной. Если это 2, 4, 6, 8 или 0, то число целиком делится на 2.
Чтобы протестировать число на делимость на 4, проверьте, делятся ли на 4 две его последние цифры. Число 57 852 кратно 4, потому что 52 = 13 × 4. Число 69 346 не кратно 4, поскольку 46 не делится на 4 без остатка. Это правило работает потому, что 4 делит 100 и, следовательно, любое число, кратное 100.

Таким образом, поскольку 57 800 и 52 делятся на 4, то 4 поде- лит и их сумму, то есть 57 852.
Аналогично, так как 1000 делится на 8, для проверки крат- ности 8 достаточно выяснить, делятся ли на 8 последние три цифры числа. Например, для 14 918 надо проверить число 918 на делимость на 8. Однако при делении 918 на 8 имеем остаток (918 ÷ 8 = 114 6/8), из чего делаем вывод, что число 14 918 на 8 не делится. Можно также заметить, что 18 (две последние циф- ры числа 14 918) не делится на 4, а так как 14 918 не делится на 4, оно не может делиться и на 8.
Когда дело доходит до делимости на 3, предлагаю запом- нить одно простое правило: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр делится на 3 (не- зависимо от того, сколько цифр в числе). Чтобы выяснить, де- лится ли 57 852 на 3, просто сложите 5 + 7 + 8 + 5 + 2 = 27. Так как 27 кратно 3, то и 57 852 будет кратно 3. Столь же удивитель- ное правило справедливо и для делимости на 9. Число делит- ся на 9 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр кратна 9. Поэтому 57 852 кратно 9, тогда как число 31 416, сумма цифр которого равна 15, на 9 не делится. Объясняется это правило тем, что числа 1, 10, 100, 1000, 10000 и т. д. всегда на единицу больше кратного 9.
Число делится на 6 только в том случае, если оно четное и делится на 3. Так что кратность 6 легко проверить.
Установить, делится ли число на 5, еще проще. Любое чис- ло, независимо от величины, кратно 5 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 или 0.
Выяснить делимость на 11 почти так же просто, как на 3 или на 9. Число делится на 11 тогда и только тогда, ког- да в результате попеременного вычитания и сложения со- ставляющих его цифр вы получите либо 0, либо кратное 11.

Например, 73 958 не делится на 11, потому что 7 – 3 + 9 – 5 + + 8 = 16. Однако числа 8 492 и 73 194 кратны 11, так как 8 – 4 + + 9 – 2 = 11 и 7 – 3 + 1 – 9 + 4 = 0. Это правило работает потому, что числа 1, 100, 10 000, 1 000 000 на единицу больше кратно- го 11, в то время как числа 10, 1000, 100 000 и т. д. на единицу меньше величины, кратной 11.
Проверка делимости на 7 несколько сложнее. Если вы прибавите (или вычтите) число, кратное 7, к проверяемому (или из проверяемого) и полученный результат будет делить- ся на 7, ответ положительный. Я всегда выбираю такое при- бавляемое или вычитаемое кратное 7, чтобы в итоге сумма или разность заканчивалась на 0. Например, для проверки числа 5292 я вычитаю 42 (кратное 7), чтобы получить 5250. Далее избавляюсь от 0 на конце (так как деление на десять не влияет на проверку делимости на семь), получая в итоге 525. Затем повторяю процесс, прибавляя 35 (кратное 7), что дает мне 560. Когда я удалю 0, то останусь с числом 56, ко- торое, как мне известно, кратно 7. Таким образом, исходное число 5292 делится на 7.
Этот метод работает не только для 7, но и для любого не- четного числа, кроме оканчивающегося на 5. Например, чтобы проверить, делится ли 8792 на 13, вычитаем 4 × 13 = = 52 из 8792 и получаем 8740. Опуская 0, имеем 874. Затем при- бавляем 2 × 13 = 26, выходит 900. Удаление двух нулей оставляет нас с числом 9, которое, очевидно, не кратно 13. Таким образом, 8792 не делится на 13.

0

49

УПРАЖНЕНИЕ: ПРОВЕРКА НА ДЕЛИМОСТЬ

В этом упражнении будьте особенно внимательны при про- верке делимости на 7 и 17. Остальное не должно представлять для вас трудностей.

Делимость на 2

1.  53 428    2.   293     3.   7241    4.  9846

Делимость на 4

5.   3932      6.    67 348     7.   358    8.    57 929

Делимость на 8

9.   59366   10.  73 488     11.  248    12.  6111

Делимость на 3

13.  83671  14.   94 737    15.  7359    16.  3 267 486

Делимость на 6

17.   5334    18.   67 386    19.    248    20.  5991

Делимость на 5

25.  47830    26.  43 762   27.   56 785   28.  37 210

Делимость на 11

29.   53867     30.    4969       31.   3828    32.   941 369

Делимость на 7

33. 5784     34.   7336    35.  875    36.   1183

Делимость на 17

37.   694   38.   629   39.    8273    40.  13 855

0

50

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

Если вы в состоянии управиться с целыми числами, то ариф- метические действия с дробями покажутся вам почти такими же легкими. В этом разделе мы сделаем обзор основных мето- дов сложения, вычитания, умножения, деления и сокращения обыкновенных дробей. Те, кто знаком с дробями, могут спо- койно его пропустить.

Умножение обыкновенных дробей

Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, нужно просто перемножить их числители (верхние числа), а затем знамена- тели (нижние числа). Например:

http://se.uploads.ru/t/phOjl.png

Что может быть проще! Попробуйте следующие упражне- ния, прежде чем двигаться дальше.

УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

http://se.uploads.ru/t/E7exu.png

Деление обыкновенных дробей

Деление дробей столь же легкое, как и умножение. Однако оно требует одного дополнительного действия. Сначала перевер- ните вторую дробь с ног на голову (это называется обратная дробь), а затем умножайте. Например, обратная дробь для 4/5 будет 5/4. Следовательно,

http://se.uploads.ru/t/Txtjh.png

http://se.uploads.ru/t/7OucZ.png

УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Теперь ваша очередь. Поделите эти дроби.

http://se.uploads.ru/t/KCJmX.png

Сокращение обыкновенных дробей

Дроби можно рассматривать как маленькие задачки на деле- ние. Например, 6/3 то же самое, что и 6 ÷ 3 = 2. Дробь 1/4 то же самое, что и 1 ÷ 4 (или 0,25 в десятичной форме). Известно, что если умножить любое число на 1, то это число не изменится. Например, 3/5 = 3/5 × 1. Но если заменить 1 дробью 2/2, то по- лучим 3/5 = 3/5 × 1 = 3/5 × 2/2 = 6/10. Следовательно, 3/5 = 6/10. По такому же принципу, заменив 1 дробью 3/3, получим 3/5 = = 3/5 × 3/3 = 9/15. Другими словами, если мы умножаем числи- тель и знаменатель на одно и то же число, то получаем дробь, равную исходной.

Вот еще пример:

http://se.uploads.ru/t/d9S34.png

Верно и то, что, деля числитель и знаменатель на одинако- вое число, мы получаем дробь, равную исходной.
Например: 

http://se.uploads.ru/t/wvhD7.png

Это сокращение дроби.

0


Вы здесь » Всё обо Всём. » библиотека » МАГИЯ ЧИСЕЛ