Женский клуб

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.


Вы здесь » Женский клуб » библиотека » МАГИЯ ЧИСЕЛ


МАГИЯ ЧИСЕЛ

Сообщений 1 страница 10 из 54

1

Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы

Предисловие

Мне нравится размышлять о тех людях, которым первым при- шла в голову мысль считать вещи. Наверное, они сразу за- метили, что счет на пальцах отлично работает. Может быть, какой-нибудь древний человек по имени Ог (родившийся еще до потопа) или один из его приятелей сказал: «Нас тут один, два, три, четыре, пять. Значит, нам нужно пять кусочков фрук- та. — И добавил: — Смотри-ка, ты на своих пальцах можешь сосчитать количество человек у костра, птиц на дереве, камней в ряду, поленьев в костре, виноградин в грозди». Так было по- ложено отличное начало для развития математики. Вы, веро- ятно, тоже впервые встретились с числами подобным образом.
Должно быть, вы слышали, что математика — это язык науки, а природа говорит на языке математики. Что ж, это правда. Чем больше мы понимаем Вселенную, тем больше математических связей в ее устройстве обнаруживаем. Цветы располагаются на стебле по винтовой линии, причем их ко- личество на разной высоте совпадает с определенной после- довательностью чисел (чисел Фибоначчи), которую несложно понять; к тому же любой самостоятельно ее высчитает. Узоры на раковине образуют совершенные математические кривые (логарифмические спирали), появившиеся вследствие опреде- ленных химических процессов. Скопления звезд тянутся друг за другом в математическом танце, и его можно наблюдать на расстоянии миллионов и даже миллиардов километров.

Магия чисел

В течение многих столетий подтверждается и открывается математическая сущность Природы. Однако с каждым новым открытием кто-то должен взять на себя труд удостовериться, что числа не лгут. Эта книга поможет вам разобраться в этом. Освоив вычисления, вы узнаете ряд математических секретов природы, и трудно представить, куда это может вас привести!
При знакомстве с числами вы поймете: ответ на самом деле лежит на кончиках ваших пальцев. Это не шутка: именно с этого все и начинается. Поскольку у человека десять паль- цев, математическая наука взяла за основу цифры от 1 до 10. По сути, мы называем и числа, и пальцы словом «цифры»*. Совпадение? Вряд ли. Нашим далеким предкам очень скоро стало недоставать пальцев для счета. То же самое, вероятно, произошло и с вами. Мы не можем просто игнорировать боль- шие числа и пенять при этом на свои руки (шутка!).
Мы нуждаемся в числах, так как они часть повседневной жизни, хотя порой мы этого даже не замечаем. Подумайте о телефонной беседе с другом: чтобы позвонить, нужен но- мер телефона; время, потраченное на разговор, тоже измеря- ется в числах (в часах и минутах). Каждая историческая дата, включая такую важную, как ваш день рождения, обозначает- ся цифрами. Числа мы используем и для презентации идей, которые на первый взгляд не имеют ничего общего с расче- тами. Например, выражение «Как молодо вы выглядите!» не- явно подразумевает информированность о вашем возрасте, выраженном в числовом эквиваленте, а также оценку вашего внешнего вида тоже в виде числа. Люди часто описывают друг друга с помощью чисел, отображающих рост и вес человека.

И конечно, мы все хотим знать, сколько денег у нас есть или сколько стоит та или иная вещь в числовом выражении: в дол- ларах, песо, юанях, рупиях, рублях, евро или иенах.
Если по какой-то причине вы пока еще не влюблены в ма- тематику, читайте эту книгу. Конечно, как человек науки я на- деюсь, что вам понравится эта дисциплина. Хотя больше всего мне хотелось бы, чтобы вы ее полюбили. Что бы вы ни чувство- вали по отношению к ней (ненависть или любовь), я все равно готов поспорить: вы часто будете ловить себя на мысли, что хотите узнать ответ сразу, без того чтобы сначала старатель- но все записать и усердно работать (или даже не тратя время на то, чтобы взять калькулятор). Вы мечтаете, чтобы ответ появился «по мановению волшебной палочки». Оказывается, множество математических задач решаются именно таким магическим образом. И книга продемонстрирует вам, как это делается.
Что делает любую магию столь интригующей и увлекатель- ной? Зрители не часто могут похвастаться тем, что понимают, как выполняется трюк. «Как она это сделала? Не знаю, но это круто!» Так вот, приемы и методы из этой книги сродни вол- шебству. Публика редко бывает осведомлена о секретах трю- ков — она просто ценит их. Заметьте, что магия вряд ли чего- то стоит, если никто не смотрит представление. Но знание того, как работает магия чисел, не лишает вас увлекательной интри- ги. Простая арифметика не позволит вам увязнуть в вычисле- ниях, и вы сможете сосредоточиться на прекрасной природе чисел. В конце концов, математика — двигатель Вселенной.
Доктор Бенджамин занялся быстрыми вычислениями ради забавы. Полагаю, этим он поразил своих учителей и од- ноклассников. Иллюзионисты могут заставить публику ду- мать, что они обладают сверхъестественными способностями.

0

2

Волшебники от математики создают иллюзию своей гениаль- ности. Способность обратить внимание окружающих на то, что вы делаете, представляет собой часть обмена идеями. Если вы произвели на людей впечатление, они будут слушать то, что вы говорите. Так что попробуйте немного поупражняться в магии чисел. Вы можете произвести впечатление на друзей? Отлично! Но вы также будете «выступать для себя» и пойме- те, что в состоянии решать задачки, которые, как вы полагали раньше, вам не по зубам. Вы придете в восторг от самого себя.
Но счет на пальцах — совсем другое дело. Вы когда-нибудь замечали, что считаете вслух, или что-то шепчете, или издае- те еще какие-то звуки во время вычислений? Это почти всегда упрощает расчеты. Проблема, однако, в том, что окружаю- щие думают, будто вы ведете себя немножко странно. Так вот, в «Магии чисел» доктор Бенджамин научит вас использовать функцию «говорю вслух» так, чтобы сделать решение задач более простым и быстрым, а ответы — точными (что удиви- тельно). И все это будет «выдаваться» вашим мозгом в процес- се обдумывания задачи (как будто вы думаете вслух).
Вы станете перемещаться по математическим задачкам так же, как мы читаем: слева направо. Вы будете щелкать слож- ные задания как орешки, выдавая результат с погрешностью в пределах процента или около того. Вы научитесь быстро вы- полнять арифметические действия. Таким образом, вы сможе- те приятно провести время, размышляя о том, что означают цифры. Ог задумался над вопросом: «Достаточно ли у нас фруктов для каждого человека, сидящего у костра? Если нет, то могут возникнуть проблемы». Теперь вы можете спросить: «Достаточно ли места на этом компьютере, чтобы отслежи- вать мои музыкальные файлы или банковский счет? Если нет, то могут возникнуть проблемы».

Это книга больше о секретах математики, чем просто о под- счетах. Например, вы научитесь определять, на какой день не- дели придется или приходилась та или иная дата. Это просто фантастика, почти волшебство, когда вы в состоянии сказать кому-либо, в какой день недели он родился. Это действительно невероятно, если вы способны вычислить, что Соединенные Штаты Америки отмечали свой первый День независимости в четверг 4 июля 1776 года; что 15 апреля 1912 года — день гибели «Титаника» — был понедельник; что первый человек ступил на Луну 20 июля 1969 года, в воскресенье. Вы никогда не забудете, что террористическая атака на США произошла 11 сентября 2001 года. С помощью магии чисел вы всегда суме- ете доказать, что это случилось во вторник.
Существующие в природе взаимосвязи лучше всего опи- сывают именно числа. Один, два, три и далее до десяти — эти числа вы можете посчитать на пальцах. Но между ними есть еще бесконечное количество чисел. Это дроби. Некоторые числа никогда не заканчиваются. Они становятся настолько большими, насколько вы пожелаете, и настолько маленькими, что их трудно себе представить. Вы, должно быть, знакомы с ними. «Магия чисел» позволит вам так быстро доставать их из ума, что у вас в нем останется еще достаточно места для размышлений о сложившемся устройстве мира. В общем эта книга покажет вам, что все в природе имеет смысл.

Математика — прекрасный, элегантный и чрезвычайно полез- ный язык с собственными лексикой и синтаксисом, глаголами, существительными и определениями, диалектами и местными наречиями. Он с блеском используется одними людьми и с тру- дом — другими. Многие из нас боятся исследовать скрытые возможности его применения, тогда как некоторые пускают его в ход, словно меч, чтобы атаковать и покорять налоговые декларации или массивы данных, сопротивляющиеся менее храбрым людям. Возможно, эта книга не превратит вас в Лейб- ница, не возведет в ранг профессора алгебры, но, надеюсь, по- способствует появлению у вас нового, волнующего и даже за-
нимательного взгляда на то, что можно делать с числами.
Мы все думаем, что знаем достаточно об арифметике, что- бы сводить концы с концами, и, конечно, не чувствуем вины за то, что при каждом удобном случае обращаемся к карман- ному калькулятору, который стал неотъемлемой частью на- шей жизни. Но так же, как фотография может скрыть истин- ную красоту картины Вермеера, а электронная клавиатура — стать причиной того, что мы забудем великолепное исполне- ние Горовица, чрезмерное доверие к технологиям способно лишить удовольствия, которое вы получите при изучении
математики на этих страницах.
Я помню, какое наслаждение испытал в детстве, когда мне
открылось, что можно умножать на 25, просто прибавляя два нуля к исходному числу и деля это новое число на 4. Метод сравнений по модулю 9 для проверки результатов умноже- ния был следующим захватывающим этапом. А когда я узнал о перекрестном умножении, то уже был на крючке и ненадол- го превратился в невыносимого одержимого математикой.

0

3

Прививки против такого недуга не существовало. Приходи- лось лечить себя самому. Так что будьте осторожны!
Вы не держали бы сейчас в руках эту книгу, если бы у вас не было желания улучшить свои математические навыки либо удовлетворить любопытство по отношению к этому увлека- тельному предмету. Так же как и при использовании любой инструкции, вы сможете удерживать в памяти и применять только определенный процент разнообразных трюков и мето- дов, описанных здесь. Но даже это оправдает время, потрачен- ное на чтение этой забавной книги.
Я знаю обоих авторов довольно хорошо. Арт Бенджамин не только один из числа тех одаренных детей, на которых учителя постоянно ворчали в школе, но, как известно, и ак- тер «Волшебного замка» в Голливуде, где он демонстрирует свои навыки (однажды Арт отправился в Токио, чтобы там в прямом эфире помериться математическими способностя- ми с женщиной-ученым). Майкл Шермер, с его специальны- ми научными познаниями, имеет отличное представление о практическом применении математики (о том, как она ис- пользуется в реальном мире).
Если это ваше первое знакомство с такого рода полезным математическим материалом, то я вам завидую. Открывая каждый восхитительный способ по-новому атаковать циф- ры, вы обнаружите, что упустили что-то в школе. Матема- тика, в особенности арифметика, — мощный и надежный инструмент для повседневного использования, позволяю- щий нам управляться с жизнью более уверенно и точно. По- звольте Арту и Майклу показать вам, как округлить некото- рые из углов и срезать неровности на вашем практическом пути. Вспомните слова доктора Сэмюэля Джонсона, человека
в высшей степени практичного во всех отношениях: «Изуче- ние арифметики служит развлечением в моменты одиноче- ства благодаря процессу решения и способствует укреплению репутации на публике благодаря эффектности».
В общем наслаждайтесь книгой. Пусть она развлечет и раз- веселит вас. Все, чего вы можете желать от жизни, — это со- вершать хорошие поступки время от времени и иногда съесть кусочек пиццы (без анчоусов!) в компании добрых друзей. Ну, или почти все... Может быть, еще «Феррари».

0

4

Пролог

Мой хороший друг доктор Артур Бенджамин, профессор математики в колледже Harvey Mudd в Клермонте, выходит на сцену под шквал аплодисментов публики «Волшебного замка», знаменитого клуба магов в Голливуде, где он собира- ется демонстрировать «магию чисел» или, как он это называ- ет, искусство быстрых устных вычислений. Арт никоим обра- зом не выглядит как профессор математики из престижного колледжа. Удивительно находчивый, он похож на остальных молодых иллюзионистов и магов, которые представляют именитый клуб. Особенным Арта делает то, что он может вы- ступать перед любой группой людей, в том числе перед про- фессиональными математиками и магами, потому что умеет то, на что мало кто способен. Артур Бенджамин складывает, вычитает, умножает и делит числа в уме быстрее, чем кальку- лятор. Он может возводить в квадрат двузначные, трехзнач- ные и четырехзначные числа, а также находить квадратные и кубические корни, не записывая ничего на бумаге. А еще он готов научить вас выступать с собственной математической магией.
Традиционно маги отказываются раскрывать свои се- креты, считая, что если вы будете их знать, таинственность и очарование их искусства будут утрачены. Но Арт стремит- ся вызвать у людей интерес к математике. Он понимает, что лучший способ сделать это — посвятить читателей в секреты

«математического гения». С этими навыками любой человек сможет повторить то, что демонстрирует Артур Бенджамин на сцене.
Это особая ночь в «Волшебном замке». Арт начинает с во- проса о том, есть ли у кого-нибудь в аудитории калькулятор. Группа инженеров поднимает руки и присоединяется к Арту на сцене. Предлагая проверить калькуляторы, чтобы убедить- ся в том, что они работают, Арт просит человека из зала на- звать двузначное число. «Пятьдесят семь!» — кричит тот. Арт указывает на другого, который произносит: «Двадцать три».
Обращаясь к людям на сцене, Арт говорит: «Умножьте 57 на 23 с помощью калькулятора и убедитесь, что получилась 1311, иначе устройство работает неправильно», и терпеливо ждет, пока добровольцы закончат ввод чисел. После того как каждый участник подтверждает, что его калькулятор выдал результат 1311, аудитория издает вздох. Удивительный Арт обыграл калькуляторы в их собственной игре!
Далее Арт сообщает, что возведет в квадрат четыре дву- значных числа быстрее, чем «кнопкодавы» сделают это на сво- их калькуляторах. Аудитория просит его возвести в квадрат числа 24, 38, 67 и 97. Крупно и четко, чтобы все было видно, Арт пишет на доске цифры: 576, 1444, 4489 и 9409 — и развора- чивается к инженерам-добровольцам с просьбой огласить ре- зультаты, полученные на калькуляторах. Их ответ вызывает удивление, а затем аплодисменты аудитории: «576, 1444, 4489, 9409». Женщина рядом со мной сидит с открытым от изумле- ния ртом.
После этого волшебник Арт предлагает возвести в ква- драт трехзначное число, даже не записывая ответ. «Пятьсот семьдесят два!» — выкрикивает мужчина из зала. Ответ Арта доносится меньше чем через секунду: «572 в квадрате будет

0

5

327 184». Он незамедлительно указывает на другого предста- вителя аудитории, который называет число «389», и невозму- тимо произносит: «389 в квадрате равно 151 321». Кто-то еще выпаливает «262». «68 644», — оперативно выдает Арт. И, чув- ствуя, что затянул на какое-то мгновение с последним отве- том, обещает компенсировать это со следующим числом. Вы- зов поступил: 991. Без паузы Арт возводит это число в квадрат: «982 081». Звучит еще несколько трехзначных чисел, и Арт отвечает безупречно. Зрители в аудитории качают головами, не в силах поверить в происходящее.
Покорив аудиторию, Арт заявляет, что предпримет по- пытку возвести в квадрат четырехзначное число. Женщина выкрикивает: «1306», и Арт мгновенно отвечает: «1 073 296». Аудитория смеется, а Арт объясняет: «Нет-нет. Это слишком просто. Я не рассчитываю на то, что одержу победу над каль- куляторами в этом упражнении. Давайте попробуем другой пример». Мужчина предлагает «2843». Делая небольшую пау- зу между цифрами, Арт отвечает: «Итак, квадрат этого числа должен составлять 8 миллионов... 82 тысячи... 649». Он прав, конечно, и публика взрывается аплодисментами так же гром- ко, как и во время выступления предыдущего мага, который распилил женщину пополам и заставил исчезнуть собаку. Так происходит везде, где бы Артур Бенджамин ни появился: в классе старшей школы, колледже, на профессиональной кон- ференции, в «Волшебном замке» или телевизионной студии.
Профессор Бенджамин выступал со своей магией особо- го рода по всей стране и в прямом эфире многочисленных телевизионных ток-шоу. Он был предметом исследования по когнитивной психологии Университета Карнеги—Меллона и отмечен в научной книге Стивена Смита The Great Mental Calculators: The Psychology, Methods, and Lives of Calculating

Prodigies, Past and Present. («Великие ментальные вычислите- ли: психология, методы и жизнь вундеркиндов вычислений, прошлое и настоящее»). Арт родился в Кливленде 19 марта 1961 года (по его подсчетам, в воскресенье; этому навыку он обучит вас в главе 9). Он был гиперактивным ребенком, до- водил учителей до исступления своими выходками, зачастую сводившимися к исправлению математических ошибок, до- пускаемых ими время от времени. На протяжении всей книги параллельно с обучением математическим секретам Арт вспо- минает, когда и где он узнал об этих секретах. Так что я предо- ставлю возможность поведать эти увлекательные истории ему самому.
Арт Бенджамин — личность экстраординарная. Он приду- мал необыкновенную программу обучения методам быстрых устных вычислений. Я утверждаю это без тени сомнения и прошу помнить: эта информация поступает не от парочки ребят, сулящих вам чудеса, «если только вы позвоните по на- шей горячей линии». Мы с Артом — дипломированные специ- алисты в области самых консервативных академических дис- циплин: Арт в математике, я в истории науки. И мы никогда не подвергли бы себя риску оконфузиться (или что-нибудь похуже), делая столь громкие заявления, если бы не были уверены в них на сто процентов. Словом, метод работает, и практически каждый может ему научиться, потому что ма- стерство «математического гения» — навык приобретаемый. Итак, вы можете рассчитывать на то, что разовьете свои мате- матические способности, произведете впечатление на друзей, улучшите свою память и изрядно повеселитесь!

0

6

Введение

Я всегда любил упражняться с числами, и в этой книге поде- люсь своей страстью с вами. Числа казались мне наделенными определенной магической притягательностью, и я проводил огромное количество времени, развлекая себя и других с по- мощью их великолепных свойств. Будучи подростком, я вы- ступал в качестве мага, а позже объединил свою увлеченность математикой и магией в полнометражном шоу под названием Mathemagics («Математическая магия»), в рамках которого хотел продемонстрировать и объяснить секреты быстрых уст- ных вычислений зрителям всех возрастов.
После защиты диссертации я преподавал математику в колледже Harvey Mudd и до сих пор наслаждаюсь тем, что разделяю радость от общения с числами с детьми и взрослы- ми во всем мире. В этой книге я поделюсь с вами всеми сво- ими секретами, касающимися быстрого выполнения матема- тических действий в уме. (Конечно же, волшебники не долж- ны раскрывать секреты, но у математической магии другие правила. Математика должна вселять благоговение, а не пу- гать своей таинственностью.)
Какую пользу принесет вам эта книга? Вы научитесь про- изводить математические действия в уме быстрее, чем могли себе представить. После небольшой практики вы значительно улучшите свою память на числа. Вы изучите способы делать быстрые вычисления, которые поразят ваших друзей, коллег

и учителей. К тому же начнете рассматривать математику как весьма занимательный вид деятельности.
Слишком часто эта наука преподается как набор жестких правил, где нет места для творческого мышления. Но как вы узнаете из нашей книги, обычно у одной проблемы бывает не- сколько решений. Большие задачи можно разделить на мень- шие, более «покладистые» составляющие. Мы будем выиски- вать характерные детали, чтобы облегчить вам решение задач. Мне это кажется ценным жизненным уроком, который можно использовать при поиске решения всех видов проблем, как ма- тематических, так и любых других.
«Но разве талант к математике не дается от рождения?» Мне часто задают этот вопрос. Многие люди убеждены, что молниеносные вычислители необыкновенно одарены. Мо- жет быть, у меня действительно есть повышенный интерес к тому, как что-либо работает, будь то задача по математике или фокус. Но я уверен, основываясь на многолетнем опыте преподавания, что «скоростная» математика — это навык, ко- торым может овладеть любой человек. Но он требует практи- ки и приверженности, если вы хотите стать экспертом в этом деле. А для получения результатов важно придерживаться правильного пути. Позвольте же мне указать вам его!

0

7

Глава 0
Быстрые трюки: простые
(и впечатляющие) вычисления

Далее вы узнаете, как быстро выполнять математические дей- ствия в уме. После непродолжительной практики и освоения методов этой книги ваша способность работать с числами зна- чительно улучшится. После более продолжительной практи- ки вы сможете считать быстрее, чем с помощью калькулятора. В этой главе я научу вас нескольким простым (но впечатля- ющим) вычислениям, которые вы можете освоить незамедли- тельно. Более серьезные вещи оставим на потом.

МГНОВЕННОЕ УМНОЖЕНИЕ

Давайте начнем с одного из моих любимых трюков: как ум- ножать в уме любое двузначное число на 11. Это очень легко, если вы знаете секрет.
Представьте следующую задачу:

32 × 11

Для ее решения нужно просто сложить цифры 3 + 2 = 5, а затем поместить пятерку между двойкой и тройкой. Вот и наше решение:

352

Что может быть легче? Теперь попробуйте

53 × 11

Поскольку 5 + 3 = 8, ответ достаточно прост:

583

Еще пример. Не подглядывая и не записывая, скажите, чему равно:

81 × 11?

У вас получилось 891? Поздравляю!

Но пока не слишком воодушевляйтесь: я показал лишь по- ловину того, что необходимо знать. Допустим, задача такая:

85 × 11

Несмотря на то что 8 + 5 = 13, ответ НЕ 8135!

Как и прежде цифра 3 ставится между цифрами 8 и 5, но 1 добавляется к цифре 8 для получения правильного ответа 935.

Представляйте задачу следующим образом:

1
835
935

Вот еще пример. Попробуйте перемножить 57 х 11. Так как 5 + 7 = 12, ответ:

1
527
627

Теперь ваша очередь. Как можно быстрее, подсчитайте, сколько будет

77 × 11?

Если вы получили ответ 847, можете себе поаплодировать. Вы на пути к превращению в матемага.
Мне известно по опыту, что если вы скажете другу или учителю, что способны в уме умножить любое двузначное число на 11, просьба умножить 99 на 11 не заставит себя долго ждать. Поэтому решим эту задачку прямо сейчас, чтобы вы были готовы.
Так как 9 + 9 = 18, ответ таков:

1
989
1089

Хорошо попрактикуйте свой новый навык какое-то время, а затем проведите шоу перед друзьями. Вы будете удивлены реакцией, которую вызовет ваше умение (раскрывать или нет свои секреты — решайте сами).
Итак, к этому моменту у вас, должно быть, появилось не- сколько вопросов, скажем:
Можно ли использовать этот метод для умножения трехзначных (или более «значных») чисел на 11?
Безусловно. Например, для задачи 314 × 11 ответ все еще будет начинаться с 3 и заканчиваться на 4. Так как 3 + 1 = 4 и 1 + 4 = 5, ответ будет равен 3454. Но мы пока отложим задачи посерьезнее на потом.
Вероятно, вы уже спрашиваете себя:
Конечно, замечательно, что таким способом можно ум- ножать на 11. Но как насчет других чисел? Как умножить числа на 12, 13 или 36?
Мой ответ: «Терпение!» Об этом рассказывается дальше. В главах 2, 3, 6 и 8 вы изучите методы умножения, позволяю- щие перемножать любые два числа. При этом вам не придется

запоминать специальные правила для каждого случая. Не- сколько методов — вот и все, что вам понадобится для быстро- го умножения чисел в уме.

0

8

ВОЗВЕДЕНИЕ ВО ВТОРУЮ (В КВАДРАТ) И БОЛЬШИЕ СТЕПЕНИ

Вот еще один трюк.
Как вы, наверное, знаете, квадрат числа — это заданное
число, умноженное само на себя. Например, квадратом 7 будет 7 × 7, то есть 49. Позже я научу вас простому способу, который позволит без труда вычислять квадрат любого двузначного и трехзначного (и состоящего из большего количества знаков) числа.
Этот метод особенно легко применять, если число закан- чивается на 5. Поэтому опробуем его прямо сейчас.
1. Ответ должен начинаться с результата умножения первой цифры возводимого в квадрат числа на цифру, большую на единицу, чем первая цифра.
2. Ответ заканчивается на 25.
Например, чтобы возвести в квадрат число 35, мы просто
умножаем первую цифру (3) на 4, то есть на единицу бол2 ьшую цифру, после чего добавляем 25. Так как 3 × 4 = 12, следователь- но, ответ — 1225. Таким образом, 35 × 35 = 1225. Проделанные шаги можно представить следующим образом:

35
× 35
3 × 4 = 12
5×5= 25 Ответ: 1225

Быстрые трюки: простые (и впечатляющие) вычисления

Как насчет возведения в квадрат числа 85? Так как 8 × 9 = = 72, мы мгновенно получаем ответ: 85 × 85 = 7225.

85
× 85
8×9= 72
5×5=  25 Ответ: 7225

Можно применить похожий прием при умножении двуз- начных чисел, начинающихся с одинаковых первых цифр, сумма вторых цифр которых равняется 10. Ответ будет со- стоять из числа, полученного с помощью вышеописанно- го метода (первая цифра умножается на цифру, на единицу бол2 ьшую), и произведения вторых цифр чисел, участвующих в умножении. Например, попробуем умножить 83 на 87. (Оба числа начинаются на 8, а сумма последних цифр 3 + 7 = 10.) Так как 8 × 9 = 72 и 3 × 7 = 21, ответ — 7221.

83
× 87
8×9= 72
3×7=  21 Ответ: 7221

Подобным образом получаем из 84 × 86 = 7224.

Теперь ваша очередь. Попробуйте вычислить 26 × 24.

С чего начинается ответ? С 2 × 3 = 6. Чем заканчивается?

6 × 4 = 24. Значит, 26 × 24 = 624.

Помните, что использовать этот метод можно, только если

первые цифры чисел одинаковы, а последние дают в сумме 10. Итак, мы можем применить этот метод, чтобы мгновенно вы- числить:

0

9

31 × 39 = 1209
32 × 38 = 1216
33 × 37 = 1221
34 × 36 = 1224
35 × 35 = 1225

Вы можете спросить:
Что делать, если последние цифры не дают в сумме 10? Мы все равно можем использовать этот прием, чтобы ум- ножить 22 на 23?
Пока еще нет. Но в главе 8 я покажу вам простой способ решения таких задач с применением метода «совместной бли- зости» (для вычисления 22 × 23 нужно умножить 20 × 25, при- бавить 2 × 3 и получите 500 + 6 = 506; но это я забегаю на- перед!). Вы не только научитесь использовать данные методы, но и поймете принципы их работы.
Часто мне задают еще такой вопрос:
Существуют какие-либо методы устного сложения и вы- читания?
Конечно, и этому посвящена вся следующая глава. Если бы меня заставили описать свой прием в двух словах, я бы сказал: «Слева направо». (Вот вы украдкой и получили анонс будущего.)
Представьте следующую задачу на вычитание:

1241
– 587

Большинству людей не понравится решать подобные за- дачки в уме (и даже на бумаге!), но давайте все упростим. Вме- сто того чтобы вычесть 587, вычтем 600. Так как 1200 – 600 = 600, получаем следующее:

Быстрые трюки: простые (и впечатляющие) вычисления

1241
– 600
641

Но мы вычли на 13 больше. (В главе 1 показано, как бы- стро определить «13».) Таким образом, наш пример, на кото- рый было больно смотреть, превращается в простую задачку на сложение:

641
+ 13
654

довольно легко решаемую в уме (в особенности слева напра- во). Итак, 1241 – 587 = 654.
Используя немножко магии чисел, описанной в главе 9, вы сможете мгновенно вычислить сумму десяти чисел, представ- ленных ниже:

9
5
14
19
33
52
85
137
222
+ 359
935

Хотя я не стану раскрывать магический секрет прямо сей- час, сделаю небольшой намек. Полученный ответ 935 уже по- являлся в этой главе. Еще больше трюков для вычислений
на бумаге вы найдете в главе 6. Более того, вы будете в состоя- нии быстро назвать частное двух следующих чисел:

359 ÷ 222 = 1,61 (первые три цифры)

Нам еще многое предстоит узнать о делении (включая
обычные и десятичные дроби) в главе 4.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ СОВЕТЫ

Вот быстрый совет для подсчета чаевых*. Предположим, в ресторане вам выставили счет на 42 доллара, и вы захотели оставить чаевые в размере 15%. Сначала вычисляем 10% от 42, что равняется 4,20. Сократив это число наполовину, получаем 2,10, что представляет собой 5% от вашего счета. Складываем эти числа; их сумма (6,30) и будет составлять 15%. Мы обсу- дим стратегии вычисления налога с продаж, скидок, сложных процентов и другие практические вопросы в главе 5. Причем все это наряду со способами, которые можно использовать для быстрых устных вычислений, если нет необходимости в точ- ных расчетах.

УЛУЧШАЙТЕ ПАМЯТЬ

В главе 7 вы изучите полезную технику запоминания чисел, которая поможет в учебе и не только. Используя легкую для понимания систему преобразования чисел в слова, вы сможе- те быстро и без труда запоминать любые числа: даты, телефон- ные номера — все, что захотите.
Что касается календарных чисел, то как вы смотрите на то, чтобы научиться выяснять день недели любой даты? Это при- годится для вычисления дней рождения, исторических собы- тий, запланированных в будущем встреч и тому подобного. Я расскажу об этом в деталях позже, а пока предлагаю про- стой способ определения дня недели 1 января любого года в XXI веке. Сначала ознакомьтесь с представленной таблицей.

Поне­ дельник-1
Вторник-2
Среда-3
Четверг-4
Пятница-5
Суббота-6
Воскре­сенье-7 или 0

Например, давайте выясним, каким днем недели будет 1 января 2030 года. Возьмите две последние цифры года и пред- ставьте себе, что это ваш счет в ресторане (в данном случае 30 долларов.) Теперь добавьте 25% чаевых, но излишки в цен- тах оставьте себе. (Это можно вычислить, дважды разделив счет пополам и отбросив всю «мелочь». Половина от 30 равна 15, а половина от 15 — 7,50. Оставив излишки себе, получим чаевые в размере 7 долларов.) Отсюда следует, что ваш счет плюс чаевые составляет 37 долларов. Чтобы определить день недели, вычитаем из этой суммы наиболее близкое к ней (но не большее) произведение числа 7 (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, ...) и получаем в результате порядковый номер дня. В данном при- мере, 37 – 35 = 2, значит, 1 января 2030 года приходится на вто- рой день недели, то есть на вторник.

Счет: 30

Чаевые: + 7
                   37

роизведение цифры 7: – 35
                                         2 = вторник

Какой день недели 1 января 2043 года?

Счет: 43
Чаевые: + 10
                 53

произведение цифры 7: – 49
                                       4 = четверг

Исключение: если год високосный, уберите 1 доллар из суммы чаевых, высчитанных ранее. Например, для 1 ян- варя 2032 года 25% от счета на 32 доллара будут равны 8 дол- ларам чаевых. Вычитание 1 дает в итоге 32 + 7 = 39. Вычи- тание наибольшего по отношению к сумме счета произведе- ния 7 дает 39 – 35 = 4. Итак, 1 января 2032 года приходится на четвертый день недели, четверг. За полной информацией, которая позволит определить день недели для любой истори- ческой даты, обращайтесь к главе 9. (Кстати, совершенно есте- ственно начать чтение книги именно с нее!)
Я знаю, о чем вы сейчас думаете:
Почему этому не учат этому в школе?
Боюсь, на некоторые вопросы даже я не знаю ответа. Вы готовы освоить еще больше волшебной математики? Так чего мы ждем? Вперед!

0

10

Глава 1
Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание

Сколько себя помню, мне всегда было легче складывать и вы- читать слева направо, нежели справа налево. Поступая таким образом, я выяснил, что могу выкрикнуть ответ на математи- ческую задачку раньше, чем одноклассники запишут условия. А мне не нужно было даже записывать!
В этой главе вы научитесь методу «слева направо», исполь- зуемому для устного сложения и вычитания большинства чисел, с которыми мы сталкиваемся каждый день. Эти ум- ственные навыки важны не только для выполнения матема- тических трюков из данной книги, но и незаменимы во время учебы в школе, трудовой деятельности и в других ситуациях, когда вам нужно оперировать числами. В скором времени вы сможете отправить свой калькулятор на заслуженный отдых и начать задействовать мозг в полную силу, складывая и вы- читая двузначные, трехзначные и даже четырехзначные числа с молниеносной скоростью.

СЛОЖЕНИЕ СЛЕВА НАПРАВО

Большинство из нас обучены проводить письменные вычис- ления справа налево. И это нормально для счета на бумаге. Но у меня есть достаточно много убедительных аргументов,
объясняющих, почему это лучше делать слева направо, что- бы считать в уме (то есть быстрее, чем на бумаге). В конце концов, числовую информацию вы читаете слева направо, произносите числа тоже слева направо, поэтому и думать о числах (и считать их) более естественно слева направо. Вы- числяя ответ справа налево, вы генерируете его в обратном направлении. Это и делает вычисления в уме такими слож- ными. К тому же, чтобы просто оценить результат вычисле- ний, важнее знать, что он «чуть больше 1200», чем то, что он «заканчивается на 8».
Итак, применяя метод слева направо, вы начинаете реше- ние с самых значимых цифр вашего ответа. Если вы привык- ли работать на бумаге справа налево, то вам может показаться неестественным новый подход. Но с практикой к вам придет понимание, что это самый эффективный способ для устных вычислений. Хотя, возможно, первый набор задач — сложение двузначных чисел — и не убедит вас в этом. Но проявляйте терпение. Если будете следовать моим рекомендациям, то ско- ро поймете, что единственным легким путем к решению задач на сложение трехзначных (и более «значных») чисел, всех за- дач на вычитание, умножение и деление является метод слева направо. Чем раньше вы приучите себя действовать так, тем лучше.

Сложение двузначных чисел

Прежде всего я исхожу из того, что вы знаете, как складывать и вычитать числа, состоящие из одной цифры. Мы начнем со сложения двузначных чисел, хоть я и подозреваю, что вы не- плохо умеете делать это в уме. Однако следующие упражнения все равно станут для вас хорошей практикой, так как навыки сложения двузначных чисел, которые вы приобретете в итоге,

Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание
понадобятся для решения более трудных задач на сложение, как, впрочем, и для почти всех задач на умножение, предло- женных в следующих главах. В этом проиллюстрирован фун- даментальный принцип устной арифметики, а именно: «упро- щай задачу, разбивая ее на меньшие, проще решаемые». Это ключ практически к каждому методу, представленному в дан- ной книге. Перефразируя старую пословицу, есть три составля- ющие успеха: упрощай, упрощай и упрощай.
Самые легкие задачи на сложение двузначных чисел — те, которые не требуют от вас держать в уме какие-либо цифры (то есть когда первые две цифры в сумме дают 9 или меньше или сумма последних двух цифр равна 9 и меньше). Например:

47
+ 32 (30 + 2)

Чтобы сложить 47 + 32, сначала 30 прибавляем к 47, а затем к полученной сумме прибавляем 2. После сложения 30 и 47 за- дача упрощается: 77 + 2 равно 79. Проиллюстрируем это следу- ющим образом:

47 + 32 = 77 + 2 = 79
(сначала прибавляем 30, затем 2)

Приведенная схема — простой способ представления мыс- лительных процессов, выполняемых для получения правиль- ного ответа. Хотя вы должны читать и понимать такие схемы на протяжении всего времени работы с книгой, записывать что-либо не требуется.
Теперь попробуем вычисление, в котором необходимо дер- жать числа в уме:

67
+ 28 (20 + 8)

Прибавляя слева направо, вы можете свести задачу к дей- ствию 67 + 20 = 87, а затем к сложению 87 + 8 = 95.

0


Вы здесь » Женский клуб » библиотека » МАГИЯ ЧИСЕЛ