Всё обо Всём.

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.


Вы здесь » Всё обо Всём. » библиотека » МАГИЯ ЧИСЕЛ


МАГИЯ ЧИСЕЛ

Сообщений 21 страница 30 из 54

21

Решим еще одну задачу.

647 (600 + 40 + 7)
×4
600×4= 2400
40×4=+ 160
               2560
7×4=+ 28
      2588

Даже если числа большие, сам процесс умножения прост. Например:

987 (900 + 80 + 7)
×9
900×9= 8100
80×9=+ 720
               8820
7×9=+ 63
             8883

Впервые решая такие задачки, вы должны поглядывать на записи, чтобы напоминать себе начальные условия. Пона- чалу это нормально. Но со временем попытайтесь избавиться от такой привычки, чтобы научиться держать в памяти всю задачу.
В разделе об умножении типа «2 на 1» мы видели, что при- меры, где числа начинаются на пятерку, особенно легкие в ре- шении. То же верно и для задач типа «3 на 1».

563 (500 + 60 + 3)
×6
500×6= 3000
60×6= 360
3×6=+ 18
            3378

Обратите внимание, что всякий раз, когда первый резуль- тат умножения получается кратным 1000, следующее действие на сложение уже вовсе не является задачей. Так происходит потому, что вам не нужно запоминать никаких чисел и в даль- нейшем порядковый номер тысячи не изменится. Если бы вы решали эту задачу перед кем-то, то могли бы сказать вслух «три тысячи...» с абсолютной уверенностью в том, что это число не превратится в ответе в 4 тысячи. (И в придачу, на- зывая первые цифры, вы создаете иллюзию, будто мгновенно вычислили ответ!) Но даже если вы тренируетесь в одиноче- стве, проговаривание вслух первых результатов вычисления освобождает часть оперативной памяти, необходимой для продолжения работы над оставшимися действиями для реше- ния задачи типа «2 на 1», ответ на которую вы тоже можете произнести вслух, например, «...триста семьдесят восемь».
Попробуйте данный подход при решении следующей за- дачи, где множителем выступает 5.

663 (600 + 60 + 3)
×5
600×5= 3000
60×5= 300
3×5=+ 15
            3315

Так как первые две цифры трехзначного числа одинаковые, вы можете произносить ответ параллельно с вычислениями даже без необходимости складывать что-либо! Правда, было бы здорово, если бы все задачки на умножение были такими легкими?
Поднимемся на новый уровень сложности и попробуем решить пару примеров, которые потребуют от нас удержания чисел в уме.

0

22

184 (100 + 80 + 4)
×7
100 × 7 = 700
80 × 7 = + 560
                   1260
4×7=+ 28
        1288

684 (600 + 80 + 4)
×9
600×9= 5400
80 × 9 = + 720
                   6120
4×9=+ 36
          6156

В следующих двух примерах вам нужно держать числа в уме на последнем этапе решения, а не в его начале.

648 (600 + 40 + 8)
×9
600×9= 5400
40 × 9 = + 360
                 5760
8×9=+ 72
       5832

376 (300 + 70 + 6)
×4
300×4= 1200
70×4= + 280
               1480
6×4= + 24
       1504

Первое действие для каждой задачи легко выполнить в уме. Сложности возникают при необходимости удерживать в памяти предварительный ответ, параллельно вычисляя ито- говый. В первой задаче легко сложить 5400 + 360 = 5760. Но вы будете вынуждены твердить «5760» самому себе, пока умножа- ете 8 × 9 = 72. Затем надо сложить 5760 и 72. Иногда на этой стадии я начинаю проговаривать ответ вслух еще до ее завер- шения. Я знаю, что нужно будет держать числа в уме, когда я буду складывать 60 + 72, но я также знаю, что 5700 станет 5800. Я говорю: «Пять тысяч восемьсот...», затем приостанавлива- юсь для сложения 60 + 72 = 132. Поскольку я уже держу числа в уме, я произношу только последние две цифры: «... тридцать два!» А вот и ответ: 5832.
Две следующие задачи потребуют от вас держать в уме два числа, так что их решение может занять больше времени. Но, потренировавшись, вы станете делать это быстрее.

0

23

489 (400 + 80 + 9)
×7
400×7= 2800
80 × 7 = + 560
                 3360
9×7=+ 63
       3423

224 (200 + 20 + 4)
×9
200×9= 1800
20×9= + 180
               1980
4×9=+ 36
       2016

Когда вы впервые принимаетесь за решение таких при- меров, повторяйте ответы для каждого действия вслух, па- раллельно вычисляя остальное. В первой задаче, например, начните с «две тысячи восемьсот плюс пятьсот шестьдесят», проговорив пару раз все это вслух и тем самым закрепив два числа в памяти, пока складываете их. Повторите ответ «три тысячи триста шестьдесят» несколько раз, пока умножаете 9 × × 7 = 63. После проговаривайте «три тысячи триста шестьде- сят плюс шестьдесят три» вслух до тех пор, пока не вычислите итоговый ответ 3423. Если вы достаточно быстро соображаете, чтобы распознать, что сложение 60 + 63 потребует переноса 1 в старший разряд, то вы в состоянии назвать итоговый ответ на долю секунды быстрее, чем сами это осознаете: «три тыся- чи четыреста и... двадцать три!»
Завершим раздел с задачами на умножение типа «3 на 1» рядом особых примеров, которые можно мгновенно решить, так как они требуют лишь одного действия на сложение вме- сто двух.

511 (500 + 11)
×7
500×7= 3500
11×7=+ 77
               3577


925 (900 + 25)
×8
900×8= 7200
25 × 8 = + 200
                7400

825 (800 + 25)
×3
800×3= 2400
25×3=+ 75
              2475

В общем, если результат умножения последних двух цифр первого числа на его множитель известен вам и без подсчетов (например, вы знаете, что 25 × 8 = 200), то вы сможете полу- чить итоговый ответ намного быстрее. Например, если вы и так знаете, что 75 × 4 = 300, то легко вычислите 975 × 4.

975 (900 + 75)
×4
900×4= 3600
75 × 4 = + 300
                   3900

Чтобы закрепить только что усвоенный материал, решите следующие задачи на умножение типа «3 на 1» в уме, а затем проверьте себя по ответам в конце книги. Исходя из собствен- ного опыта, могу сказать, что устные вычисления сродни ка- танию на велосипеде или печатанию. Это может казаться не- возможным поначалу, но как только вы все освоите, то уже никогда этого не забудете.

0

24

УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ ТИПА «3 НА 1»

0

25

431                         637                                    862                                            957
×6                        х  5                                    х 4                                               х6


927                     728                                       328                                             529
х7                         х2                                      х6                                                 х9


807                   587                                         184                                            214
х9                         х4                                      х7                                                 х8


757                  259                                        297                                             751
х8                      х7                                      х8                                                х7


457                 339                                       134                                               611
х7                     х8                                      х8                                                  х3

0

26

578              247                     188                  968                            499
х9                х5                       х6                   х6                              х9


670          429                  862                      285                           488
х4           х3                     х5                        х6                              х9


693         722              457                767                           312                          691
х6            х9               х9                  х3                            х9                             х3

0

27

ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Возводить в уме числа в квадрат (умножать число само на себя) — одно из наиболее легких, но в то же время и наи- более впечатляющих ловкачеств из арсенала устных вычисле- ний. Я до сих пор помню, как открыл этот прием для себя. Мне было тринадцать. Я ехал в автобусе навестить отца на работе в центр Кливленда. Я уже проделывал этот путь неоднократ- но, поэтому мысли начали блуждать. Не помню почему, но я стал думать о числах, которые в сумме дают 20. И задался во- просом: насколько большим может быть произведение этих чисел?
Я начал с середины, 10 × 10 (или 102) равняется 100. За- тем я умножил 9 × 11 = 99; 8 × 12 = 96; 7 × 13 = 91; 6 × 14 = 84;

5 × 15 = 75; 4 × 16 = 64 и т. д. и обратил внимание на то, что результат каждый раз уменьшается. И разность между ним и 100 составляет 1, 4, 9, 16, 25, 36... или 12, 22, 32, 42, 52, 62... (смотри таблицу ниже).

http://se.uploads.ru/t/OxH3K.png

Мое открытие показалось мне удивительным. Затем я опро- бовал числа, дающие в сумме 26, и получил похожие результа- ты. Первым делом я вычислил 132 = 169, затем 12 × 14 = 168; 11 × 15 = 165; 10 × 16 = 160; 9 × 17 = 153 и т. д. Как и прежде, раз- ность этих произведений и числа 169 равнялась 12, 22, 32, 42... (смотрите таблицу ниже).
На самом деле существует простое алгебраическое объяс- нение данного феномена (смотрите раздел «Почему эти при- емы работают» в конце главы). Но в то время я не разбирался в алгебре настолько хорошо, чтобы доказать постоянство по- явления такой последовательности, но все-таки провел доста- точное количество экспериментов с подобными примерами, чтобы убедиться в ее наличии.

0

28

http://se.uploads.ru/t/pCfQM.png

Затем я осознал, что данная последовательность может об- легчить операцию возведения чисел в квадрат. Предположим, я хочу возвести в квадрат число 13. Почему бы, вместо того чтобы умножать 13 × 13, не получить приближенный ответ, используя два числа, которые легче перемножить и которые в сумме дают тоже 26? Я выбрал 10 × 16 = 160. Чтобы получить итоговый ответ, я просто прибавил 32 = 9 (так как 10 и 16 дают разность 3 с числом 13) к числу 160. Таким образом, 132 = 160 + + 9 = 169. Все четко!
Данный метод схематически можно представить так.

http://se.uploads.ru/t/rQA6U.png

Чтобы возвести в квадрат 41, вычтем 1 из 41, чтобы полу- чить 40, и добавим 1 к 41, чтобы получить 42. Далее умножаем

40 × 42. Без паники! Это простое умножение типа «2 на 1» под прикрытием(здесь4×42).Таккак4×42=168,то40×42=1680. Почти все! Вам осталось лишь прибавить квадрат 1 (числа, на величину которого вы уменьшали и увеличивали 41), что- бы получить ответ: 1680 + 1 = 1681.
Неужели в самом деле так легко возводить в квадрат двуз- начные числа? Да, с использованием этого метода и неболь- шим количеством практики. И способ работает независимо от того, округляете вы исходное число в бол2 ьшую или мень- шую сторону.
Например, возведем 772, увеличив и уменьшив его во время решения.

http://se.uploads.ru/t/Uxfvk.png

В данном примере преимущество округления в большую сторону состоит в том, что вы практически уже получили ре- шение, осталось просто прибавить 9 к 0 на конце!
По сути, я всегда округляю по принципу большей близо- сти к 10. Так, если возводимое в квадрат число оканчивается на 6, 7, 8 или 9, то округляю в большую сторону, а если на 1, 2, 3 или 4, то в меньшую. (Если число оканчивается на 5, то округляем сразу в обе стороны!) Придерживаясь такой страте- гии, вы ограничитесь прибавлением лишь чисел 1, 4, 9, 16 или 25 к результатам первого умножения.

Рассмотрим другой пример. Вычислите 562 в уме самостоя- тельно, прежде чем посмотрите на наше решение.

http://se.uploads.ru/t/PziIY.png

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, еще легче. Так как здесь выполняется округление в любую из сто- рон на величину 5, то числа, которые нужно перемножить, будут кратны 10. Следовательно, умножение и сложение пока- жутся особенно простыми. Ниже представлены решения для 852 и 352.

0

29

http://se.uploads.ru/t/kIFQO.png

Как говорится в главе 0, когда в квадрат возводятся чис- ла, оканчивающиеся на 5, округление в большую и меньшую стороны позволит немедленно сказать первую часть ответа, а потом дополнить его числом 25. Например, когда вы хоти- те посчитать 752, округление до 80 и 70 даст вам «пять тысяч шестьсот... двадцать пять!».
Что касается чисел, оканчивающихся на 5, вам будет не- сложно разгромить любого «вычислителя» с калькулятором в руке. А после небольшой практики с другими задачками на возведение в квадрат момент, когда вы сможете победить

калькулятор, не заставит себя долго ждать. Вы даже переста- нете бояться больших чисел. Можете попросить кого-нибудь задать вам действительно большое двузначное число, что- нибудь вроде «больше 90», и это будет выглядеть в глазах лю- дей так, словно вы взялись за непосильную задачу. На самом же деле так даже проще, потому что у вас будет возможность округлить до 100.
Представим, что ваша аудитория назвала 962. Сначала по- пробуйте сами, а потом сравните с нашим решением.

http://se.uploads.ru/t/cFmSC.png

Правда, было легко? Вам следовало округлить с помощью 4 до 100 и 92, а затем умножить 100 × 92 и получить 9200. В мо- мент решения задачи вы можете проговаривать вслух: «Девять тысяч двести...» и затем закончить: «...шестнадцать». И на- слаждаться аплодисментами.

0

30

УПРАЖНЕНИЕ:
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

http://se.uploads.ru/t/D7wOC.png

Зера Колберн: занимательные расчеты
Одним из первых извлечь выгоду из своего таланта — уме- ния производить вычисления молниеносно — сумел Зера Колберн (1804–1839), сын американского фермера из Вермон- та, который выучил таблицу умножения до 100 даже раньше, чем научился читать и писать. Когда юному дарованию испол- нилось шесть лет, его отец организовал тур, и выступления Зеры позволили скопить достаточный капитал для того, чтобы отправить мальчика в школу в Париже или Лондоне. В возрасте восьми лет он был известен во всем мире, выступал со своими молниеносными расчетами в Англии и был охарактеризован в Annual Register как «возможно, самый исключительный фено- мен в истории человеческого разума из когда-либо существо- вавших». Майкл Фарадей и Сэмюэль Морзе восхищались его талантом.
Где бы Колберн ни выступал, он всегда опережал всех со- перников в скорости и точности. В автобиографии он расска- зывает о наборе задач, которые ему задали в Нью-Хэмпшире в июне 1811 года: «Сколько дней и часов прошло с момента рождения Христа 1811 лет назад? Ответил за двадцать секунд: 661 015 дней, 15 864 360 часов. Сколько секунд содержится в одиннадцати годах? Ответил за четыре секунды: 346 896 000. Колберн использовал методы, описанные в этой книге, чтобы проводить вычисления исключительно в уме. Например, он раскладывал большое число на меньшие сомножители и затем перемножал их: однажды Колберн умножил 21 734 × 543 путем разложения 543 как 181 × 3. Затем он умножил 21 734 × 181, чтобы получить 3 933 854, и наконец умножил это число на 3, чтобы получить в итоге 11 801 562.
Как часто бывает с такими людьми, интерес к удивитель- ным способностям Колберна со временем утих, и в возрасте двадцати лет юноша вернулся в США и стал проповедником- методистом. Он умер в возрасте тридцати пяти лет. Подыто- живая информацию о своих способностях к молниеносным

ПОЧЕМУ ЭТИ ПРИЕМЫ РАБОТАЮТ

Этот раздел предназначен для учителей, студентов, любите- лей математики и всех, кому любопытно, почему этот метод работает. Некоторые найдут теоретическую сторону вопро- са не менее интересной, чем практическая. К счастью, вам не нужно разбираться в том, почему метод работает, для того чтобы научиться его применять. Всем магическим трюкам есть рациональное объяснение. И математические не исклю- чение. И вот прямо сейчас маг от математики раскроет свои самые сокровенные тайны!
В этой главе, посвященной задачам на умножение, мы при- менили дистрибутивный (распределительный) закон, кото- рый позволял нам разбивать задачи на части. Данный закон гласит, что для любых чисел a, b и c

(b + с) × a = (b × а) + (с × а)

То есть число за скобками распределяется и по отдельности умножается на каждое из чисел в скобках. Например, в первой задаче на умножение 42 × 7 мы добрались до итогового ответа с помощью представления 42 в виде 40 + 2, а затем помножили на 7 каждое из них следующим образом:

42 × 7 = (40 + 2) × 7 = (40 × 7) + (2 × 7) = 280 + 14 = 294

Вы можете спросить, почему распределительный закон в принципе работает. Чтобы понять его интуитивно, пред- ставьте, что у вас есть 7 сумок, в каждой по 42 монеты, 40 из ко- торых золотые, а 2 серебряные. Сколько всего у вас монет? Су- ществует два способа получить ответ. С одной стороны, исхо- дя из определения умножения, скажем, что у вас есть 42 × 7 мо- нет. С другой — всего 40 × 7 золотых и 2 × 7 серебряных монет. Следовательно, всего имеем (40 × 7) + (2 × 7) монет. Отвечая на наш вопрос двумя способами, получим 42 × 7 = (40 × 7) + (2 × 7). Обратите внимание, что числа 7, 40 и 2 можно заменить любыми другими (a, b или c), сохранив общий логический принцип. Вот почему распределительный метод работает!
Используя подобную аргументацию о золотых, серебря- ных и медных монетах, получим более общий закон.

(b + с + d) × а = (b × а) + (с × а) + (d × а)

Следовательно, чтобы умножить 326 × 7, разбиваем 326 как 300 + 20 + 6. Потом умножаем на 7 следующим образом: 326 × 7 = (300 + 20 + 6) × 7 = (300 × 7) + (20 × 7) + (6 × 7), а затем скла- дываем отдельные произведения.
Что касается возведения в квадрат, представленный ниже алгебраический закон оправдывает мой метод. (A и d — любые числа.)

А2 =(А+d)×(А–d)+d2

Здесь А — число, которое возводится в квадрат; d — любое число, но я выбрал в его качестве разности между А и ближай- шим кратным 10. Поэтому для 772 я определил d = 3, и наша формулапоказывает,что772 =(77+3)×(77–3)+32 =(80× × 74) + 9 = 5929. Алгебраические соотношения следующего вида также объясняют мой метод возведения в квадрат.

(z+d)2 =z2 +2zd+d2 =z(z+2d)+d2

Следовательно, чтобы возвести в квадрат 41, мы зададим
z = 40 и d = 1, чтобы получить

412 =(40+1)2 =40×(40+2)+12 =1681

Подобным образом имеем

(z–d)2 =z(z–2d)+d2

Чтобы найти 772, полагаем z = 80 и d = 3. Тогда

772 =(80–3)2 =80×(80–6)+З2 =80×74+9=5929

0


Вы здесь » Всё обо Всём. » библиотека » МАГИЯ ЧИСЕЛ