УПРАЖНЕНИЕ:
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Зера Колберн: занимательные расчеты
Одним из первых извлечь выгоду из своего таланта — уме- ния производить вычисления молниеносно — сумел Зера Колберн (1804–1839), сын американского фермера из Вермон- та, который выучил таблицу умножения до 100 даже раньше, чем научился читать и писать. Когда юному дарованию испол- нилось шесть лет, его отец организовал тур, и выступления Зеры позволили скопить достаточный капитал для того, чтобы отправить мальчика в школу в Париже или Лондоне. В возрасте восьми лет он был известен во всем мире, выступал со своими молниеносными расчетами в Англии и был охарактеризован в Annual Register как «возможно, самый исключительный фено- мен в истории человеческого разума из когда-либо существо- вавших». Майкл Фарадей и Сэмюэль Морзе восхищались его талантом.
Где бы Колберн ни выступал, он всегда опережал всех со- перников в скорости и точности. В автобиографии он расска- зывает о наборе задач, которые ему задали в Нью-Хэмпшире в июне 1811 года: «Сколько дней и часов прошло с момента рождения Христа 1811 лет назад? Ответил за двадцать секунд: 661 015 дней, 15 864 360 часов. Сколько секунд содержится в одиннадцати годах? Ответил за четыре секунды: 346 896 000. Колберн использовал методы, описанные в этой книге, чтобы проводить вычисления исключительно в уме. Например, он раскладывал большое число на меньшие сомножители и затем перемножал их: однажды Колберн умножил 21 734 × 543 путем разложения 543 как 181 × 3. Затем он умножил 21 734 × 181, чтобы получить 3 933 854, и наконец умножил это число на 3, чтобы получить в итоге 11 801 562.
Как часто бывает с такими людьми, интерес к удивитель- ным способностям Колберна со временем утих, и в возрасте двадцати лет юноша вернулся в США и стал проповедником- методистом. Он умер в возрасте тридцати пяти лет. Подыто- живая информацию о своих способностях к молниеносным
ПОЧЕМУ ЭТИ ПРИЕМЫ РАБОТАЮТ
Этот раздел предназначен для учителей, студентов, любите- лей математики и всех, кому любопытно, почему этот метод работает. Некоторые найдут теоретическую сторону вопро- са не менее интересной, чем практическая. К счастью, вам не нужно разбираться в том, почему метод работает, для того чтобы научиться его применять. Всем магическим трюкам есть рациональное объяснение. И математические не исклю- чение. И вот прямо сейчас маг от математики раскроет свои самые сокровенные тайны!
В этой главе, посвященной задачам на умножение, мы при- менили дистрибутивный (распределительный) закон, кото- рый позволял нам разбивать задачи на части. Данный закон гласит, что для любых чисел a, b и c
(b + с) × a = (b × а) + (с × а)
То есть число за скобками распределяется и по отдельности умножается на каждое из чисел в скобках. Например, в первой задаче на умножение 42 × 7 мы добрались до итогового ответа с помощью представления 42 в виде 40 + 2, а затем помножили на 7 каждое из них следующим образом:
42 × 7 = (40 + 2) × 7 = (40 × 7) + (2 × 7) = 280 + 14 = 294
Вы можете спросить, почему распределительный закон в принципе работает. Чтобы понять его интуитивно, пред- ставьте, что у вас есть 7 сумок, в каждой по 42 монеты, 40 из ко- торых золотые, а 2 серебряные. Сколько всего у вас монет? Су- ществует два способа получить ответ. С одной стороны, исхо- дя из определения умножения, скажем, что у вас есть 42 × 7 мо- нет. С другой — всего 40 × 7 золотых и 2 × 7 серебряных монет. Следовательно, всего имеем (40 × 7) + (2 × 7) монет. Отвечая на наш вопрос двумя способами, получим 42 × 7 = (40 × 7) + (2 × 7). Обратите внимание, что числа 7, 40 и 2 можно заменить любыми другими (a, b или c), сохранив общий логический принцип. Вот почему распределительный метод работает!
Используя подобную аргументацию о золотых, серебря- ных и медных монетах, получим более общий закон.
(b + с + d) × а = (b × а) + (с × а) + (d × а)
Следовательно, чтобы умножить 326 × 7, разбиваем 326 как 300 + 20 + 6. Потом умножаем на 7 следующим образом: 326 × 7 = (300 + 20 + 6) × 7 = (300 × 7) + (20 × 7) + (6 × 7), а затем скла- дываем отдельные произведения.
Что касается возведения в квадрат, представленный ниже алгебраический закон оправдывает мой метод. (A и d — любые числа.)
А2 =(А+d)×(А–d)+d2
Здесь А — число, которое возводится в квадрат; d — любое число, но я выбрал в его качестве разности между А и ближай- шим кратным 10. Поэтому для 772 я определил d = 3, и наша формулапоказывает,что772 =(77+3)×(77–3)+32 =(80× × 74) + 9 = 5929. Алгебраические соотношения следующего вида также объясняют мой метод возведения в квадрат.
(z+d)2 =z2 +2zd+d2 =z(z+2d)+d2
Следовательно, чтобы возвести в квадрат 41, мы зададим
z = 40 и d = 1, чтобы получить
412 =(40+1)2 =40×(40+2)+12 =1681
Подобным образом имеем
(z–d)2 =z(z–2d)+d2
Чтобы найти 772, полагаем z = 80 и d = 3. Тогда
772 =(80–3)2 =80×(80–6)+З2 =80×74+9=5929
