Всё обо Всём.

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.


Вы здесь » Всё обо Всём. » библиотека » МАГИЯ ЧИСЕЛ


МАГИЯ ЧИСЕЛ

Сообщений 31 страница 40 из 54

31

Глава 3
Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня

Магия чисел действительно захватывает, когда выступаешь перед аудиторией. Мой первый опыт публичных выступлений пришелся на восьмой класс, в уже довольно «преклонном воз- расте» тринадцати лет. Многие матемаги начинали еще рань- ше. Например, Зера Колберн (1804–1839) мог производить мол- ниеносные расчеты еще до того, как научился читать и писать, и начал развлекать зрителей в возрасте шести лет! Когда мне было тринадцать, моя учительница алгебры записала на до- ске задачу, где следовало вычислить 1082. Я быстро выпалил: «108 в квадрате будет 11 664!»
Учительница сделала расчет на доске и получила такой же ответ. Глядя немного испуганно, она произнесла: «Да, верно. Как ты это сделал?» Тут я ей и выложил: «Я округлил 108 до 100 и увеличил 108 до 116. После перемножил 116 на 100, получил 11 600, а потом просто прибавил квадрат 8, в итоге получилось 11 664».
Она никогда раньше не сталкивалась с таким методом. Я был взволнован. Даже успел самонадеянно подумать о «тео- реме Бенджамина». Я на самом деле верил в то, что открыл не- что новое. Когда я в конце концов наткнулся на этот метод спу- стя несколько лет в книге Мартина Гарднера по занимательной

математике Mathematical Carnival («Математический карна- вал», 1965), мой день был испорчен! Хотя то, что я сам нашел его, все же воодушевляло.
Вы тоже можете произвести впечатление на друзей (или учи- телей), используя некоторые из довольно удивительных приме- ров на умножение. В конце предыдущей главы вы узнали, как умножить двузначное число само на себя. В этой главе вы научи- тесь перемножать два разных двузначных числа, а затем попро- буете приложить руку (вернее, мозг) к возведению трехзначных чисел в квадрат. При этом для решения таких задач не обяза- тельно знать, как умножить два двузначных числа. Так что мо- жете начать осваивать любой из этих навыков в любом порядке.

ЗАДАЧИ НА УМНОЖЕНИЕ ТИПА «2 НА 2»

При возведении в квадрат двузначного числа всегда применяется одинаковый метод. Но перемножать двузначные числа можно раз- ными способами, которые в итоге приведут вас к одному и тому же ответу. Лично для меня здесь и начинается самое интересное.
Первый метод, назовем его «метод сложения», можно при- менять для решения любых задач на умножение типа «2 на 2».

Метод сложения

В методе сложения при перемножении двух двузначных чи- сел надо всего лишь решить две задачи на умножение типа «2 на 1» и суммировать результаты, например:

46
× 42(40+2)
40×46= 1840
2×46=+ 92
              1932

Итак, 42 разбиваем на 40 и 2, после чего умножаем 40 × 46 (а это всего лишь 4 × 46 с добавочным нулем, то есть 1840); затем 2 × 46 = 92. Наконец складываем 1840 + 92 = 1932, как и показано выше.
Вот еще один способ решения той же задачи:

46 (40 + 6)
× 42
40×42= 1680
6×42= +252
                1932

Но здесь есть небольшая проблема, которая заключается в том, что умножить 6 × 42 сложнее, чем 2 × 46, как в первом способе. Более того, прибавить 1680 + 252 сложнее, чем сум- мировать 1840 + 92. Так как же решить, какое из чисел разби- вать на части? Я стараюсь выбирать то, которое приведет к бо- лее простой задаче на сложение. В большинстве случаев, но не всегда, желательно разбивать число с наименьшей цифрой в конце, потому что это обычно приводит к меньшим числам при сложении.
Попробуйте свои силы на следующих примерах.

48
× 73(70+3)
70×48= 3360
3×48=+144
               3504

81 (80 + 1)
× 59
80×59= 4720
1×59=+ 59
               4779


В последнем примере показано, почему числа с 1 в конце лучше всего представлять в виде суммы. В случае если оба числа оканчиваются на одинаковую цифру, следует делить на части большее число, как показано ниже.

84 (80 + 4)
× 34
80×34= 2720
4×34= +136
               2856

Если одно из чисел намного больше другого, то его разби- ение часто оправдывает себя, даже если цифра на конце боль- ше цифры на конце меньшего числа. Вы поймете, что я имею в виду, когда решите следующие задачи двумя разными спо- собами.

74 (70 + 4)
× 13
70×13= 910
4×13=+ 52
               962


74
× 13(10+3)
10×74= 740
3×74=+222
              962

Показался ли вам первый способ быстрее второго? Мне — да.
Вот еще одно исключение из правила: разбивайте на части число с наименьшей цифрой на конце. При умножении числа, близкого и большего 50, на четное, следует разбить на части именно число, близкое к 50.

84
× 59(50+9)
50×84= 4200
9×84= +756
           4956

Последняя цифра числа 84 меньше, чем цифра на конце числа 59. Но если разбить на части 59, то результат первого умножения будет кратным 100, что упрощает последующую задачу на сложение.

0

32

Теперь попробуйте решить легкую задачу другого типа.

42
× 11(10+1)
10×42= 420
1×42=+ 42
               462

Хотя вычисления, представленные выше, достаточно про- сты, существует еще более простой и быстрый способ умноже- ния числа на 11. Это магия чисел во всей красе: вы не поверите своим глазам, когда увидите! (Если, конечно, вы еще не забы- ли, что читали в главе 0.)
Вот как это работает. Представьте себе двузначное число, цифры которого в сумме дают 9 или меньше. Для умножения такого числа на 11 просто сложите эти две цифры и вставьте полученную сумму между двух исходных цифр. Например, чтобы умножить 42 × 11, сначала складываем 4 + 2 = 6. По- местив 6 между 4 и 2, получаем 462, что и является решением!

42    4    2=462
×11        6

Вычислите 54 × 11, используя данный метод.

54    5   4 =594
×11        9

Что может быть проще? Все, что вам нужно, — поставить 9 между 5 и 4 и получить окончательный ответ 594.
Но что делать, когда сумма двух чисел больше 9? В таких случаях надо увеличить цифру десятков на 1, а затем вста- вить последнюю цифру суммы между двумя числами, как и прежде. Например, при умножении 76 × 11 суммируете 7 + + 6 = 13, увеличиваете цифру 7 в числе 76 до 8, а затем

вставляете 3 между 8 и 6, что дает окончательный ответ 836. Посмотрите на схему вычислений:

76   7   6 = 836
×11   13

Попытайтесь самостоятельно умножить 68 × 11.

68   6  8 =748
×11    14

После того как вы освоите этот метод, вы никогда не стане- те умножать числа на 11 по-другому. Решите несколько задач, а затем сверьтесь с ответами в конце книги.

0

33

УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ НА 11

35              48                     94
х11           х11                    х11

Следующую задачу вначале бывает очень трудно решить. Попытайтесь умножить 89 × 72 в уме, подглядывая в случае необходимости в решение. Если вы справились с ней за две по- пытки, то все в порядке.

89
× 72(70+2)
70×89= 6230
2×89= + 178
               6408

Если вы получили правильный ответ с первого или вто- рого раза, похлопайте себя по плечу. В действительности не найдется задач на умножение типа «2 на 2» труднее этой. Если вы не получили ответ сразу, не волнуйтесь. В следую- щих двух разделах я обучу вас более простым стратегиям

для решения подобных задач. Но прежде чем продолжить чтение, попрактикуйтесь в методе сложения на следующих задачах на умножение.

http://se.uploads.ru/t/VPLN9.png

Метод вычитания

Метод вычитания может пригодиться, когда одно из умножа- емых чисел заканчивается на 8 или 9. Следующий пример по- казывает, что я имею в виду.

59 (60 – 1)
× 17
60×17= 1020
–1×17=– 17
               1003

Хотя большинство людей находят, что сложение легче вы- читания, порой удобнее отнять маленькое число, чем приба- вить большое. (Если бы мы решали эту задачу методом сложе- ния, то пришлось бы складывать 850 + 153 = 1003.)
Теперь рассмотрим сложную задачу, приведенную в конце предыдущего раздела.

89 (90 – 1)
× 72
90×72= 6480
–1×72=– 72
              6408

Разве это не намного проще? А вот задача, где одно из чи- сел заканчивается на 8.

88 (90 – 2)
× 23
90×23= 2070
–2×23=– 46
            2024

0

34

В данном случае следует поступить с числом 88 так: вычи- таем 90 – 2, затем умножаем 90 × 23 = 2070. Но мы умножили с лишком. Каким? Он равен 2 × 23 = 46. Так что для получения ответа 2024 надо вычесть 46 из 2070.
Хочу подчеркнуть, что важно решать такие примеры в уме, а не просто изучать, как это делается. Пропускайте через себя эти задачи, проговаривайте выполняемые действия вслух, чтобы подкрепить свои размышления.
Я использую метод вычитания не только для чисел, окан- чивающихся на 8 или 9, но и для чисел, близких и больших 90, поскольку 100 — очень удобное число для умножения. Напри- мер, если кто-то попросит меня умножить 96 на 73, я незамед- лительно округлю 96 до 100.

96 (100 – 4)
× 73 
100 × 73 = 7300
–4×73=– 292
7008

Когда действие на вычитание внутри задачи на умноже- ние требует держать числа в уме, использование дополнений (которые мы изучили в главе 1) ускорит получение ответа. Вы поймете, о чем я говорю, когда поработаете над задачами, приведенными ниже. Например, вычтите из 340 число 78. Нам известно, что ответ будет в области «200 плюс». Разность между 40 и 78 составляет 38. С помощью дополнения к 38, которое равно 62, получаем ответ 262!

340                      78 – 40 = 38
– 78               ополнение для 38 = 62
262

Теперь следующая задача

88 (90 – 2)
× 76 
90×76= 6840
–2×76= – 152

Есть два пути вычитания внутри данной задачи. Длинный путь состоит из вычитания 200 и прибавления 48.

6840 – 152    =    6640 + 48     =    6688.
(сначала вычитаем 200)      (затем прибавляем 48)

Короткий путь заключается в понимании того, что ответ будет равен 6600 и «сколько-то еще». Для определения этого «сколько-то» вычитаем 52 – 40 = 12, а затем находим допол- нение для 12, которое равно 88. Следовательно, ответ — 6688.
Попробуйте решить такой пример.

67
× 59(60–1)
60×67= 4020
–1×67= – 67
               3953

Снова идем коротким путем, взяв за основу ответ 3900 и сколько-то еще. Так как 67 – 20 = 47, а дополнение для 47 — это 53, ответ — 3953.
Как вы, наверное, поняли, использование данного метода возможно в любой задаче на вычитание, в которой требуется держать числа в уме, а не только тогда, когда она является ча- стью решения задачи на умножение. Все это служит еще од- ним доказательством того (если вам нужны доказательства), что дополнение — очень мощный инструмент в математиче- ской магии. Освойте эту технику, и довольно скоро люди нач- нут рассыпать вам комплименты!

0

35

http://se.uploads.ru/t/ptxJW.png

Метод разложения

Метод разложения — мой любимый метод умножения двуз- начных чисел, поскольку в нем совсем не используются сло- жение и вычитание. Его следует применять, когда один из со- множителей можно разложить на множители, состоящие из одной цифры, которые при перемножении дадут исходное число. Например, число 24 можно представить в виде 8 × 3 или 6 × 4. (Возможно также разложение в виде 12 × 2, но мы отдаем предпочтение использованию однозначных чисел.)

Вот еще несколько примеров разложения чисел:

42 = 7 × 6,
63 = 9 × 7,
84 = 7 × 6 × 2 или 7 × 4 × 3.

Чтобы посмотреть, как разложение облегчает процесс ум- ножения, рассмотрим следующий пример.

46
× 42 = 7 × 6

Ранее мы решали его путем умножений 46 × 40 и 46 × 2 и последующего сложения сумм. Чтобы использовать метод разложения, представим 42 как 7 × 6 и начнем с умножения 46 × 7, что равняется 322. Затем умножим 322 × 6 и получим ответ 1932. Вы знаете, как решать задачи на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1», так что решить этот пример для вас не со- ставит труда.

46 × 42 = 46 × (7 × 6) = (46 × 7) × 6 = 322 × 6 = 1932.

Конечно, множители при разложении числа 42 можно по-
менять местами:

46 × 42 = 46 × (6 × 7) = (46 × 6) × 7 = 276 × 7 = 1932.

В данном примере легче умножить 322 × 6, чем 276 × 7. Чаще всего я предпочитаю использовать больший множитель при решении исходной задачи типа «2 на 1» и сохраняю меньший множитель для его применения в случае задачи «3 на 1». Раз- ложение упрощает задачу на умножение типа «2 на 2» до более легкой задачи типа «3 на 1» (иногда даже до «2 на 1»).
Преимущество этого метода разложения для устных вы- числений состоит в том, что вам не приходится слишком мно- гое держать в памяти. Рассмотрим другой пример 75 × 63.

75 × 63 = 75 × (9 × 7) = (75 × 9) × 7 = 675 × 7 = 4725.

Как и прежде, вы упрощаете этот пример типа «2 на 2» пу- тем разложения 63 на 9 × 7 и затем умножаете 75 на эти числа. (Кстати, мы можем переставить скобки во втором шаге вычис- лений по ассоциативному, или сочетательному, закону умно- жения.)

63×75=63×(5×5×3)=(63×5)×5×3=315×5×3=1575×3=4725.

Потренируйтесь на следующем примере:

57 × 24 = 57 × 8 × 3 = 456 × 3 = 1368.

Здесь можно разложить 24 как 6 × 4 для перехода к другому
простому варианту вычислений:

57 × 24 = 57 × 6 × 4 = 342 × 4 = 1368.

Сравните данный подход с методом сложения.

57
× 24(20+4)
20×57= 1140
4×57= +228
              1368

или

57 (50 + 7)
× 24
50×24= 1200
7×24= +168
              1368

В рамках метода сложения необходимо решить две задачи на умножение типа «2 на 1», а затем суммировать результаты. При использовании метода разложения вам нужно выполнить только два действия на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1». Метод разложения обычно снисходителен к вашей памяти.
Помните ту трудную задачу на умножение из предыдущей части этой главы? Вот она:

89
× 72

Мы решили ее достаточно легко с помощью метода вычи- тания, но разложение работает еще быстрее:

89 × 72 = 89 × 9 × 8 = 801 × 8 = 6408.

Задача существенно облегчается тем, что в середине числа 801 находится 0. Следующий пример показывает, что поиск ва- рианта разложения чисел, позволяющего воспользоваться по- добной ситуацией (когда есть 0 в середине числа), часто бывает оправданным. Рассмотрим два способа вычисления 67 × 42.

67 × 42 = 67 × 7 × 6 = 469 × 6 = 2814.
67 × 42 = 67 × 6 × 7 = 402 × 7 = 2814.

Обычно 42 раскладывают как 7 × 6, следуя правилу «ис- пользуй больший множитель в первую очередь». Но задачу легче решить, разложив 42 как 6 × 7, поскольку это приводит к созданию числа с 0 в середине, что облегчает умножение. Я называю такие числа дружелюбными произведениями.
Ниже поиск дружелюбного произведения проведен в про- цессе умножения двумя способами.

43 × 56 = 43 × 8 × 7 = 344 × 7 = 2408.
43 × 56 = 43 × 7 × 8 = 301 × 8 = 2408
.

Не показался ли вам второй вариант более легким?
Применяя метод разложения, выгодно отыскивать дру- желюбные произведения везде, где только можно. Следую- щий список должен в этом помочь. Я жду от вас не столько его запоминания, сколько простого ознакомления с ним. Практикуясь, вы научитесь интуитивно определять друже- любные произведения, и этот список станет для вас хоро- шим подспорьем.

0

36

Числа с дружелюбными произведениями

12: 12×9=108.
13: 13×8=104.
15: 15×7=105.
17: 17×6=102.
18: 18×6=108.
21: 21×5=105.
23: 23×9=207.
25: 25×4=100, 25×8=200.
26: 26×4=104, 26×8=208.
27: 27×4=108.
29: 29×7=203.
34: 34×3=102, 34×6=204, 34×9=306.
35: 35×3=105.
36: 36×3×108.
38: 38×8=304.
41: 41×5=205.
43: 43×7=301.
44: 44×7=308.
45: 45×9=405.
51: 51×2=102, 51×4=204, 51×6=306, 51×8=408.
52: 52×2=104, 52×4=208.
53: 53×2=106.
54: 54×2=108.
56: 56×9=504.
61: 61×5=305.
63: 63×8=504.
67: 67×3=201, 67×6=402, 67×9=603.
68: 68×3=204,       68×6=408.
72: 72×7=504.
76: 76×4=304,      76×8=608.
77: 77×4=308.
78: 78×9=702.
[b]81: 81×5=405.
84: 84×6=504.
88: 88×8=704.
89: 89×9=801.


Ранее в этой главе вы обучились легкому способу умножать числа на 11. Он применим в методе разложения в ситуации, когда один из множителей равен 11, как в данном примере.

52 × 33 = 52 × 11 × 3 = 572 × 3 = 1716.
83 × 66 = 83 × 11 × 6 = 913 × 6 = 5478
.

0

37

http://se.uploads.ru/t/bs48A.png

ТВОРЧЕСКИЙ ПОДХОД К УМНОЖЕНИЮ

Я уже упоминал в начале главы, что решать задачи на умноже- ние — одно удовольствие, так как это можно сделать любым количеством способов. Теперь, когда вы поняли, что я имею в виду, применим все три метода, приведенные в этой главе, к одной задаче. Начнем с метода сложения.

73 (70 + 3)
× 49
70×49= 3430
3×49= + 147
              3577

Теперь метод вычитания.

73
× 49(50–1)
50×73= 3650
–1×73=– 73
               3577

Обратите внимание, что две последние цифры могут быть получены путем сложения 50 + (дополнение для 73), то есть 50 + 27 = 77, или путем вычисления дополнения для разности 73 и 50; дополнение для 23 = 77.
И наконец, метод разложения:

73 × 49 = 73 × 7 × 7 = 511 × 7 = 3577.

Поздравляю! Вы освоили умножение типа «2 на 2» и теперь обладаете всеми необходимыми базовыми навыками для бы- стрых устных вычислений. Все, что вам нужно для превраще- ния в молниеносного вычислителя, — это больше практики!

0

38

УПРАЖНЕНИЕ:
УМНОЖЕНИЕ ТИПА «2 НА 2» ЛЮБЫМ СПОСОБОМ!

У этих упражнений есть несколько вариантов решения. По- пробуйте выполнять вычисления столькими способами, сколько вспомните. Затем сверьте свои ответы с данными в конце книги. Наши ответы предлагают различные магиче- ские пути решения задач, начиная с самых простых.

0

39

53            81                 73            89              77     
x9            x57              x18          x55            x36

92            87         67            56            59
x53         x87       x58        x37          x21

Следующие задачи типа «2 на 2» представляют собой под- задачи более сложных задач типа «3 на 2», «3 на 3» и «5 на 5», с которыми вы встретитесь позже. Вы можете решать их сей- час, чтобы поупражняться, а затем снова обратиться к ним, когда они будут включены в большие примеры.

37         57          38           43           43        74       61
x72      x73        x63         x76         x75      x62      x37

36         54       53      83        91          52         29
x41      x53     x53    x58      x46         x47       x26

41             65          34         69           95        65       65       95       41
x15         x19        x27       x78          x81     x47      x69     x26      x93

ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Возведение в квадрат трехзначных чисел — впечатляющее проявление искусности в ментальном фокусничестве. Так же как при возведении в квадрат двузначного числа выполня- ется его округление в большую или меньшую сторону для

получения кратного 10, для возведения трехзначного числа в квадрат его нужно округлить в большую или меньшую сторо- ну для получения кратного 100. Возведем в квадрат число 193.

http://se.uploads.ru/t/BgGYs.png

Путем округления 193 до 200 (второй сомножитель стал рав- ным 186) задача типа «3 на 3» преобразовалась в более простую типа «3 на 1», так как 200 × 186 — это всего лишь 2 × 186 = 372 с двумя нулями в конце. Почти готово! Теперь все, что нужно сделать, это прибавить 72 = 49 и получить ответ — 37 249.
Попробуем возвести в квадрат 706.

http://se.uploads.ru/t/qwFkW.png

При округлении числа 706 до 700 необходимо еще и изме- нить это же число на 6 в большую сторону для получения 712. Так как 712 × 7 = 4984 (простая задача типа «3 на 1»), 712 × 700 = = 498 400. Прибавив 62 = 36, получаем 498 436.
Последние примеры не так уж страшны, потому что не включают в себя сложения как такового. Кроме того, вы наизусть знаете, чему равняются 62 и 72. Возводить в квадрат число, которое отстоит от кратного 100 больше чем на 10 еди- ниц, значительно труднее. Попробуйте свои силы с 3142.

http://se.uploads.ru/t/LDf1Q.png

В этом примере число 314 уменьшилось на 14 ради окру- гления до 300 и увеличилось на 14 до 328. Умножаем 328 × 3 = = 984 и добавляем два нуля в конце, чтобы получить 98 400. Затем прибавляем квадрат 14. Если вам мгновенно прихо- дит на ум (благодаря памяти или быстрым вычислениям), что 142 = 196, то вы в хорошей форме. Далее просто сложи- те 98 400 + 196 для получения окончательного ответа 98 596. Если вам нужно время для подсчета 142, повторите «98 400» несколько раз, прежде чем продолжить. Иначе можно вы- числить 142 = 196 и забыть, к какому числу нужно прибавить произведение.
Чем дальше число, возводимое в квадрат, отстоит от крат- ного 100, тем сложнее становятся вычисления. Попробуйте возвести в квадрат 529.

http://se.uploads.ru/t/c43U8.png

Если у вас есть аудитория, которую вы хотели бы впечат- лить, можете произнести вслух «279 000», прежде чем найдете 292. Но такое не пройдет в случае каждой решаемой задачи. Например, попытайтесь возвести в квадрат 636.

http://se.uploads.ru/t/Q6Lk0.png

Теперь ваш мозг по-настоящему заработал, не правда ли? Не забывайте повторять «403 200» самому себе несколько раз, пока будете возводить в квадрат привычным способом 36, чтобы получить 1296. Самое сложное — суммировать 1296 + + 403 200. Делайте это по одной цифре за раз, слева направо, и получите ответ 404 496. Даю слово, что, как только вы лучше ознакомитесь с возведением в квадрат двузначных чисел, за- дачки с трехзначными значительно упростятся.
Вот еще более сложный пример: 8632.

http://se.uploads.ru/t/iUpxO.png

Первая проблема — надо решить, какие числа перемно- жать. Несомненно, одно из них будет 900, а другое — больше 800. Но какое именно? Это можно рассчитать двумя способами.
1. Сложный способ: разность между 863 и 900 составляет 37 (дополнение для 63), вычитаем 37 из 863 и получаем 826.
2. Легкий способ: удваиваем число 63, получаем 126, теперь последние две цифры этого числа прибавляем к числу 800, что в итоге даст 826.
Вот как работает легкий способ. Поскольку оба числа име-
ют одинаковую разность с числом 863, их сумма должна рав- няться удвоенному числу 863, то есть 1726. Одно из чисел 900, значит, другое будет равно 826.
Затем проводим следующие вычисления.

http://se.uploads.ru/t/ZWk4V.png

0

40

Если вам трудно вспомнить число 743 400 после возведе- ния в квадрат числа 37, не расстраивайтесь. В следующих гла- вах вы узнаете систему мнемотехники и научитесь запоми- нать такие числа.
Попробуйте свои силы на самой трудной пока задаче — на возведении в квадрат числа 359.

http://se.uploads.ru/t/2g0ky.png

Для получения 318 либо отнимите 41 (дополнение для 59) от 359, либо умножьте 2 × 59 = 118 и используйте последние две цифры. Далее умножьте 400 × 318 = 127 200. Прибавление к этому числу 412 = 1681 даст в сумме 128 881. Вот и все! Если вы сделали все правильно с первого раза, вы молодец!
Завершим этот раздел большой, но легкой задачей: вычис- лим 9872.

http://se.uploads.ru/t/jwciE.png

0


Вы здесь » Всё обо Всём. » библиотека » МАГИЯ ЧИСЕЛ