УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ НА 11

35              48                     94
х11           х11                    х11

Следующую задачу вначале бывает очень трудно решить. Попытайтесь умножить 89 × 72 в уме, подглядывая в случае необходимости в решение. Если вы справились с ней за две по- пытки, то все в порядке.

89
× 72(70+2)
70×89= 6230
2×89= + 178
               6408

Если вы получили правильный ответ с первого или вто- рого раза, похлопайте себя по плечу. В действительности не найдется задач на умножение типа «2 на 2» труднее этой. Если вы не получили ответ сразу, не волнуйтесь. В следую- щих двух разделах я обучу вас более простым стратегиям

для решения подобных задач. Но прежде чем продолжить чтение, попрактикуйтесь в методе сложения на следующих задачах на умножение.

Метод вычитания

Метод вычитания может пригодиться, когда одно из умножа- емых чисел заканчивается на 8 или 9. Следующий пример по- казывает, что я имею в виду.

59 (60 – 1)
× 17
60×17= 1020
–1×17=– 17
               1003

Хотя большинство людей находят, что сложение легче вы- читания, порой удобнее отнять маленькое число, чем приба- вить большое. (Если бы мы решали эту задачу методом сложе- ния, то пришлось бы складывать 850 + 153 = 1003.)
Теперь рассмотрим сложную задачу, приведенную в конце предыдущего раздела.

89 (90 – 1)
× 72
90×72= 6480
–1×72=– 72
              6408

Разве это не намного проще? А вот задача, где одно из чи- сел заканчивается на 8.

88 (90 – 2)
× 23
90×23= 2070
–2×23=– 46
            2024

Метод разложения

Метод разложения — мой любимый метод умножения двуз- начных чисел, поскольку в нем совсем не используются сло- жение и вычитание. Его следует применять, когда один из со- множителей можно разложить на множители, состоящие из одной цифры, которые при перемножении дадут исходное число. Например, число 24 можно представить в виде 8 × 3 или 6 × 4. (Возможно также разложение в виде 12 × 2, но мы отдаем предпочтение использованию однозначных чисел.)

Вот еще несколько примеров разложения чисел:

42 = 7 × 6,
63 = 9 × 7,
84 = 7 × 6 × 2 или 7 × 4 × 3.

Чтобы посмотреть, как разложение облегчает процесс ум- ножения, рассмотрим следующий пример.

46
× 42 = 7 × 6

Ранее мы решали его путем умножений 46 × 40 и 46 × 2 и последующего сложения сумм. Чтобы использовать метод разложения, представим 42 как 7 × 6 и начнем с умножения 46 × 7, что равняется 322. Затем умножим 322 × 6 и получим ответ 1932. Вы знаете, как решать задачи на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1», так что решить этот пример для вас не со- ставит труда.

46 × 42 = 46 × (7 × 6) = (46 × 7) × 6 = 322 × 6 = 1932.

Конечно, множители при разложении числа 42 можно по-
менять местами:

46 × 42 = 46 × (6 × 7) = (46 × 6) × 7 = 276 × 7 = 1932.

В данном примере легче умножить 322 × 6, чем 276 × 7. Чаще всего я предпочитаю использовать больший множитель при решении исходной задачи типа «2 на 1» и сохраняю меньший множитель для его применения в случае задачи «3 на 1». Раз- ложение упрощает задачу на умножение типа «2 на 2» до более легкой задачи типа «3 на 1» (иногда даже до «2 на 1»).
Преимущество этого метода разложения для устных вы- числений состоит в том, что вам не приходится слишком мно- гое держать в памяти. Рассмотрим другой пример 75 × 63.

75 × 63 = 75 × (9 × 7) = (75 × 9) × 7 = 675 × 7 = 4725.

Как и прежде, вы упрощаете этот пример типа «2 на 2» пу- тем разложения 63 на 9 × 7 и затем умножаете 75 на эти числа. (Кстати, мы можем переставить скобки во втором шаге вычис- лений по ассоциативному, или сочетательному, закону умно- жения.)

63×75=63×(5×5×3)=(63×5)×5×3=315×5×3=1575×3=4725.

Потренируйтесь на следующем примере:

57 × 24 = 57 × 8 × 3 = 456 × 3 = 1368.

Здесь можно разложить 24 как 6 × 4 для перехода к другому
простому варианту вычислений:

57 × 24 = 57 × 6 × 4 = 342 × 4 = 1368.

Сравните данный подход с методом сложения.

57
× 24(20+4)
20×57= 1140
4×57= +228
              1368

или

57 (50 + 7)
× 24
50×24= 1200
7×24= +168
              1368

В рамках метода сложения необходимо решить две задачи на умножение типа «2 на 1», а затем суммировать результаты. При использовании метода разложения вам нужно выполнить только два действия на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1». Метод разложения обычно снисходителен к вашей памяти.
Помните ту трудную задачу на умножение из предыдущей части этой главы? Вот она:

89
× 72

Мы решили ее достаточно легко с помощью метода вычи- тания, но разложение работает еще быстрее:

89 × 72 = 89 × 9 × 8 = 801 × 8 = 6408.

Задача существенно облегчается тем, что в середине числа 801 находится 0. Следующий пример показывает, что поиск ва- рианта разложения чисел, позволяющего воспользоваться по- добной ситуацией (когда есть 0 в середине числа), часто бывает оправданным. Рассмотрим два способа вычисления 67 × 42.

67 × 42 = 67 × 7 × 6 = 469 × 6 = 2814.
67 × 42 = 67 × 6 × 7 = 402 × 7 = 2814.

Обычно 42 раскладывают как 7 × 6, следуя правилу «ис- пользуй больший множитель в первую очередь». Но задачу легче решить, разложив 42 как 6 × 7, поскольку это приводит к созданию числа с 0 в середине, что облегчает умножение. Я называю такие числа дружелюбными произведениями.
Ниже поиск дружелюбного произведения проведен в про- цессе умножения двумя способами.

43 × 56 = 43 × 8 × 7 = 344 × 7 = 2408.
43 × 56 = 43 × 7 × 8 = 301 × 8 = 2408.

Не показался ли вам второй вариант более легким?
Применяя метод разложения, выгодно отыскивать дру- желюбные произведения везде, где только можно. Следую- щий список должен в этом помочь. Я жду от вас не столько его запоминания, сколько простого ознакомления с ним. Практикуясь, вы научитесь интуитивно определять друже- любные произведения, и этот список станет для вас хоро- шим подспорьем.

ТВОРЧЕСКИЙ ПОДХОД К УМНОЖЕНИЮ

Я уже упоминал в начале главы, что решать задачи на умноже- ние — одно удовольствие, так как это можно сделать любым количеством способов. Теперь, когда вы поняли, что я имею в виду, применим все три метода, приведенные в этой главе, к одной задаче. Начнем с метода сложения.

73 (70 + 3)
× 49
70×49= 3430
3×49= + 147
              3577

Теперь метод вычитания.

73
× 49(50–1)
50×73= 3650
–1×73=– 73
               3577

Обратите внимание, что две последние цифры могут быть получены путем сложения 50 + (дополнение для 73), то есть 50 + 27 = 77, или путем вычисления дополнения для разности 73 и 50; дополнение для 23 = 77.
И наконец, метод разложения:

73 × 49 = 73 × 7 × 7 = 511 × 7 = 3577.

Поздравляю! Вы освоили умножение типа «2 на 2» и теперь обладаете всеми необходимыми базовыми навыками для бы- стрых устных вычислений. Все, что вам нужно для превраще- ния в молниеносного вычислителя, — это больше практики!

53            81                 73            89              77     
x9            x57              x18          x55            x36

92            87         67            56            59
x53         x87       x58        x37          x21

Следующие задачи типа «2 на 2» представляют собой под- задачи более сложных задач типа «3 на 2», «3 на 3» и «5 на 5», с которыми вы встретитесь позже. Вы можете решать их сей- час, чтобы поупражняться, а затем снова обратиться к ним, когда они будут включены в большие примеры.

37         57          38           43           43        74       61
x72      x73        x63         x76         x75      x62      x37

36         54       53      83        91          52         29
x41      x53     x53    x58      x46         x47       x26

41             65          34         69           95        65       65       95       41
x15         x19        x27       x78          x81     x47      x69     x26      x93

ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Возведение в квадрат трехзначных чисел — впечатляющее проявление искусности в ментальном фокусничестве. Так же как при возведении в квадрат двузначного числа выполня- ется его округление в большую или меньшую сторону для

получения кратного 10, для возведения трехзначного числа в квадрат его нужно округлить в большую или меньшую сторо- ну для получения кратного 100. Возведем в квадрат число 193.

Путем округления 193 до 200 (второй сомножитель стал рав- ным 186) задача типа «3 на 3» преобразовалась в более простую типа «3 на 1», так как 200 × 186 — это всего лишь 2 × 186 = 372 с двумя нулями в конце. Почти готово! Теперь все, что нужно сделать, это прибавить 72 = 49 и получить ответ — 37 249.
Попробуем возвести в квадрат 706.

При округлении числа 706 до 700 необходимо еще и изме- нить это же число на 6 в большую сторону для получения 712. Так как 712 × 7 = 4984 (простая задача типа «3 на 1»), 712 × 700 = = 498 400. Прибавив 62 = 36, получаем 498 436.
Последние примеры не так уж страшны, потому что не включают в себя сложения как такового. Кроме того, вы наизусть знаете, чему равняются 62 и 72. Возводить в квадрат число, которое отстоит от кратного 100 больше чем на 10 еди- ниц, значительно труднее. Попробуйте свои силы с 3142.

В этом примере число 314 уменьшилось на 14 ради окру- гления до 300 и увеличилось на 14 до 328. Умножаем 328 × 3 = = 984 и добавляем два нуля в конце, чтобы получить 98 400. Затем прибавляем квадрат 14. Если вам мгновенно прихо- дит на ум (благодаря памяти или быстрым вычислениям), что 142 = 196, то вы в хорошей форме. Далее просто сложи- те 98 400 + 196 для получения окончательного ответа 98 596. Если вам нужно время для подсчета 142, повторите «98 400» несколько раз, прежде чем продолжить. Иначе можно вы- числить 142 = 196 и забыть, к какому числу нужно прибавить произведение.
Чем дальше число, возводимое в квадрат, отстоит от крат- ного 100, тем сложнее становятся вычисления. Попробуйте возвести в квадрат 529.

Если у вас есть аудитория, которую вы хотели бы впечат- лить, можете произнести вслух «279 000», прежде чем найдете 292. Но такое не пройдет в случае каждой решаемой задачи. Например, попытайтесь возвести в квадрат 636.

Теперь ваш мозг по-настоящему заработал, не правда ли? Не забывайте повторять «403 200» самому себе несколько раз, пока будете возводить в квадрат привычным способом 36, чтобы получить 1296. Самое сложное — суммировать 1296 + + 403 200. Делайте это по одной цифре за раз, слева направо, и получите ответ 404 496. Даю слово, что, как только вы лучше ознакомитесь с возведением в квадрат двузначных чисел, за- дачки с трехзначными значительно упростятся.
Вот еще более сложный пример: 8632.

Первая проблема — надо решить, какие числа перемно- жать. Несомненно, одно из них будет 900, а другое — больше 800. Но какое именно? Это можно рассчитать двумя способами.
1. Сложный способ: разность между 863 и 900 составляет 37 (дополнение для 63), вычитаем 37 из 863 и получаем 826.
2. Легкий способ: удваиваем число 63, получаем 126, теперь последние две цифры этого числа прибавляем к числу 800, что в итоге даст 826.
Вот как работает легкий способ. Поскольку оба числа име-
ют одинаковую разность с числом 863, их сумма должна рав- няться удвоенному числу 863, то есть 1726. Одно из чисел 900, значит, другое будет равно 826.
Затем проводим следующие вычисления.